(TM2) Prüfungsaufgabe: Spannung und Verschiebung im Stab

In dieser Prüfungsaufgabe schauen wir uns an, wie die und die Verschiebung in einem Stab bestimmt wird, welcher an beiden Enden fest eingespannt ist und eine lineare Temperaturdifferenz erfährt.

Prüfungsaufgabe: Spannung und Verschiebung

Aufgabenstellung

Verschiebung, Spannung, Stab, Beispiel, lineare Temperaturdifferenz

Gegeben sei der obige Stab, welcher fest an beiden Enden eingespannt ist und eine lineare Temperaturdifferenz erfährt. Wir wollen für diesen Stab den Verlauf der Verschiebung sowie den Verlauf der Spannung bestimmen.

Gegeben sind die folgenden Werte:

Längenausdehnungskoeffizient	$\alpha = 23,8 \cdot 10^{-6}$
Elastizitätsmodul	$E = 70.000 \frac{N}{mm^2}$
Temperaturdifferenz ΔT₀	$\triangle T_0 = 10^\circ$
Temperaturdifferenz ΔT₁	$\triangle T_1 = 10^\circ$

Lösung

Bestimmung der Verschiebung

Zunächst schauen wir uns an, was wir hier gegeben haben. Wir haben hier einen fest eingespannten Stab gegeben, welcher eine lineare Temperaturdifferenz erfährt. Zur Berechnung können wir die Differentialgleichung der Verschiebung heranziehen:

$\boxed{EAu'' = -n + (\alpha \cdot \triangle T \cdot EA)'}$

Wir haben hier keine Linienlast $n$ gegeben, weshalb n = 0 ist und damit:

$\boxed{EAu'' = (\alpha \cdot \triangle T \cdot EA)'}$

Starten wir nun erstmal damit die Verschiebung u zu bestimmen. Dafür benötigen wir aber die lineare Temperaturdifferenz $\triangle T$ . Am Stabanfang ergibt sich eine Temperaturdifferenz ΔT₀ und diese steigt linear bis zur Temperaturdifferenz am Stabende ΔT₁. Betrachten wir das ganze in einem Koordinatensystem, so erhalten wir die folgende lineare Temperaturdifferenzfunktion:

Die Temperaturfunktion ergibt sich, indem die Funktionsgleichung einer linearen Funktion herangezogen wird:

$\boxed{ y = mx + b}$

mit

$m$ Steigung

$b$ Schnittpunkt mit der y-Achse

Auf unseren Fall übertragen ist y = ΔT(x). Die Steigung beträgt:

$\boxed{m = \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L}}$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse bzw. T(x)-Achse ist gegeben bei

$\boxed{b = \triangle T_0}$

Wir erhalten somit:

$\boxed{\triangle T(x) = \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot x + \triangle T_0}$

Wir können die lineare Temperaturdifferenz nun in die Differentialgleichung der Verschiebung einfügen:

$\boxed{EAu'' = (\alpha \cdot \triangle T \cdot EA)'}$

$\boxed{EAu'' = (\alpha \cdot (\dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot x + \triangle T_0) \cdot EA)'}$

Wir können EA rauskürzen und erhalten dann:

$\boxed{u'' = (\alpha \cdot (\dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot x + \triangle T_0))'}$

Zunächst bilden wir nun die 1. Ableitung der rechten Seite:

$\boxed{u'' = \alpha \cdot \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} }$

Danach können wir durch zweimaliges Integrieren die Verschiebung u bestimmen.

Merk's dir!

Wichtig: Wir führen eine unbestimmte Integration durch, d.h. wir müssen Integrationskonstanten berücksichtigen.

Wir starten mit der 1. Integration:

$\boxed{u' = \int \alpha \cdot \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} dx}$

I. $\boxed{u' = \alpha \cdot \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot x + C_1}$

Danach betrachten wir die 2. Integration der Gleichung I:

$\boxed{u = \int (\alpha \cdot \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot x + C_1) dx}$

II. $\boxed{u = \alpha \cdot \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2}$

Wir haben nun mittels zweifacher Integration die Verschiebung u bestimmt. Allerdings müssen wir noch die Integrationskonstanten bestimmen. Diese können wir aus den Randbedingungen (Stabenden) ermitteln.

Die Verschiebung an den Stabenden ist gleich Null, weil der Stab fest eingespannt ist und an den Stabenden damit keine Verschiebung stattfinden kann:

Merk's dir!

$u(x = 0) = 0$ und $u(x = L) = 0$

Wir betrachten zunächst das rechte Stabende und setzen in die Gleichung II u = 0 für x = 0 ein:

$\boxed{0 = \alpha \cdot \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot \frac{1}{2} 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2}$

$\boxed{C_2 = 0}$

Danach betrachten wir das linke Stabende und setzen in die Gleichung II u = 0 für x = L sowie C₂ = 0 ein:

$\boxed{0 = \alpha \cdot \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot \frac{1}{2} L^2 + C_1 \cdot L + 0}$

$\boxed{0 = \alpha \cdot (\triangle T_1 - \triangle T_0) \cdot \frac{1}{2} L + C_1 \cdot L}$

$\boxed{C_1 \cdot L = -\alpha \cdot (\triangle T_1 - \triangle T_0) \cdot \frac{1}{2} L }$

$\boxed{C_1 = -\alpha \cdot (\triangle T_1 - \triangle T_0) \cdot \frac{1}{2} }$

Wir haben nun beide Integrationskonstanten bestimmt und können diese als nächstes in die Gleichung II einsetzen:

$\boxed{u = \alpha \cdot \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot \frac{1}{2} x^2 -\alpha \cdot (\triangle T_1 - \triangle T_0) \cdot \frac{1}{2} \cdot x }$

Wir haben die Gleichung der Verschiebung bestimmt, können diese aber noch ein wenig zusammenfassen:

$\boxed{u = \frac{1}{2} \alpha \cdot (\triangle T_1 - \triangle T_0) \cdot x (\frac{x}{L} - 1) }$

Wir können nun für eine bestimmte Stelle im Stab die Verschiebung berechnen. Berechnen wir mal die Verschiebung für die beiden Stellen x = 200mm und x = 600mm:

x = 200mm: $\boxed{u = \frac{1}{2} \cdot 23,8 \cdot 10^{-6} \frac{1}{K} \cdot (50 K - 10 K) \cdot 200mm (\frac{200mm}{1.000mm} - 1) = -0,07616mm}$

x = 600mm: $\boxed{u = \frac{1}{2} \cdot 23,8 \cdot 10^{-6} \frac{1}{K} \cdot (50 K - 10 K) \cdot 600mm (\frac{600mm}{1.000mm} - 1) = -0,114 mm}$

Das negative Vorzeichen gibt an, dass hier eine Stauchung stattfindet. Infolge der Temperaturerhöhung im Stab dehnt dieser sich überall aus. Die Ausdehnung wird aber durch die festen Einspannungen an den Stabenden verhindert. Dadurch drücken die Stabquerschnitte gegeneinander und es erfolgt eine Stauchung. Die Stauchung ist in der Mitte bei x = 500mm am Größten (u = -0,119).

Bestimmung der Spannung

Wir können die Spannung aus der Gesamtspannung bestimmen, da wir in unserem Fall ein eine Gesamtdehnung gegeben haben. Einmal die Wärmedehnung infolge der linearen Temperaturdifferenz und einmal eine Dehnung infolge von Druckkräfte, die durch die feste Einspannung hervorgerufen werden (siehe: Gesamtdehnung und Gesamtspannung):

$\boxed{\sigma = (\epsilon_{ges} - \alpha \cdot \triangle T) \cdot E}$

Die Dehnung haben wir nicht gegeben, wir wissen aber, dass die Dehnung nichts anderes als die Ableitung der Verschiebung ist:

$\dfrac{du}{dx} = u' = \epsilon$

Damit ergibt sich die Spannung bei Gesamtdehnung zu:

$\boxed{\sigma = (u' - \alpha \cdot \triangle T) \cdot E}$

Die Temperaturdifferenz hatten wir bestimmt zu:

$\boxed{\triangle T(x) = \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot x + \triangle T_0}$

Einsetzen in die Spannung bei Gesamtdehnung:

(1) $\boxed{\sigma = (u' - \alpha \cdot [\dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot x + \triangle T_0]) \cdot E}$

Die erste Ableitung der Verschiebung u’ haben wir mit der Gleichung I weiter oben bestimmt:

I. $\boxed{u' = \alpha \cdot \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot x + C_1}$

Einsetzen der Integrationskonstante:

$\boxed{C_1 = -\alpha \cdot (\triangle T_1 - \triangle T_0) \cdot \frac{1}{2} }$

Und wir erhalten:

$\boxed{u' = \alpha \cdot \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot x -\alpha \cdot (\triangle T_1 - \triangle T_0) \cdot \frac{1}{2}}$

Einsetzen in die Spannungsgleichung (1):

$\boxed{\sigma = (\alpha \cdot \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot x -\alpha \cdot (\triangle T_1 - \triangle T_0) \cdot \frac{1}{2} - \alpha \cdot [\dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot x + \triangle T_0]) \cdot E}$

$\boxed{\sigma = (\alpha \cdot \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot x -\alpha \cdot (\triangle T_1 - \triangle T_0) \cdot \frac{1}{2} - \alpha \cdot \dfrac{\triangle T_1 - \triangle T_0}{L} \cdot x - \alpha \cdot \triangle T_0) \cdot E}$

Die Terme mit x verrechnen sich miteinander zu Null und fallen damit raus:

$\boxed{\sigma = (-\alpha \cdot (\triangle T_1 - \triangle T_0) \cdot \frac{1}{2} - \alpha \cdot \triangle T_0) \cdot E}$

Auflösen der inneren Klammer:

$\boxed{\sigma = (-\frac{1}{2} \alpha \cdot \triangle T_1 + \frac{1}{2} \alpha \cdot \triangle T_0 - \alpha \cdot \triangle T_0) \cdot E}$

Zusammenfassen der Gleichung:

$\boxed{\sigma = (-\frac{1}{2} \alpha \cdot \triangle T_1 - \frac{1}{2} \alpha \cdot \triangle T_0 ) \cdot E}$

$\boxed{\sigma = -\frac{1}{2} \alpha \cdot (\triangle T_1 - \triangle T_0 ) \cdot E}$

Wir haben den Verlauf der Spannung ermittelt. Hierbei handelt es sich um einen konstanten Spannungsverlauf, d.h. die Spannung ist in jedem Punkt im Stab gleich und beträgt:

$\boxed{\sigma = -\frac{1}{2} \cdot 23,8 \cdot 10^{-6} \cdot (50K - 10K ) \cdot 70.000 \frac{N}{mm^2} = -33,32 \frac{N}{mm^2}}$

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