PH2 – Aufgaben: Resultierende aus mehreren Kräften [5 Aufgaben inklusive Lösungen]

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Inhaltsverzeichnis:

Wir zeigen dir in dieser Lerneinheit Aufgaben zur Resultierenden. Wir schauen uns an, wie du den Betrag und die Richtung der Resultierenden aus mehreren Kräften berechnest. Dabei betrachten wir ein zentrales Kräftesystem.

Für ein optimales Verständnis helfen dir 5 Aufgaben inklusiver ausführlicher Lösung.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH2-Einführung in die Statik.

 

Aufgaben Resultierende aus mehreren Kräften

Wir schauen uns im nachfolgenden einige Aufgaben zur Berechnung der Resultierenden aus mehreren Kräften an.

In den ersten beiden Aufgaben lernst du erstmal die Teilresultierenden zu berechnen, um dann in den folgenden beiden Aufgaben aus den Teilresultierenden den Betrag und die Richtung der Resultierenden zu bestimmen. In der letzten Aufgabe führst du dann die komplette Berechnung durch, so wie es auch in der Prüfung gefordert wurde.

 

Aufgabe 1: Teilresultierende

Aufgabenstellung

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Aufgabe Teilresultierende aus mehreren Kräften bestimmen

 

Gegeben seien die obigen drei Kräfte:

F_1 = 100 N

F_2 = 80 N

F_3 = 35 N

Bestimme die Teilresultierenden Rx und Ry!

 

1.Schritt: Winkel zur positiven x-Achse bestimmen

\alpha_1 = 0^\circ

\alpha_2 = 30^\circ

\alpha_3 = 130^\circ

 

2. Schritt: Kräfte in ihre Komponenten zerlegen

In x-Richtung mittels Kosinus:

F_{x1} = 100 N \cdot \cos(0^\circ) = 100 N

F_{x2} = 80 N \cdot \cos(30^\circ) = 69,28 N

F_{x3} = 35 N \cdot \cos(130^\circ) = -22,50 N

 

In y-Richtung mittels Sinus:

F_{y1} = 100 N \cdot \sin(0^\circ) = 0 N

F_{y2} = 80 N \cdot \sin(30^\circ) = 40 N

F_{y3} = 35 N \cdot \sin(130^\circ) = 26,81 N

 

3. Schritt: Teilresultierende bestimmen

Die Teilresultierenden bestimmst du, indem du die obigen Komponenten summierst. Für die Teilresultierende in x-Richtung summierst du die Komponenten in x-Richtung, für die Teilresultierende in y-Richtung summierst du die Komponenten in y-Richtung. Achte dabei auf die Vorzeichen!

R_x = F_{x1} + F_{x2} + F_{x3} = 100N + 69,28 N - 22,50 N = \mathbf{146,78 N}

R_y = F_{y1} + F_{y2} + F_{y3} = 0 N + 40 N + 26,81 N = \mathbf{66,81 N}

 

Aufgabe 2: Teilresultierende

Aufgabenstellung

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Aufgabe Teilresultierende aus drei Kräften berechnen

 

Gegeben seien die obigen drei Kräfte

F_1 = 80 N,

F_2 = 150 N,

F_3 = 100 N.

Bestimme die Teilresultierenden Rx und Ry!

 

1.Schritt: Die Winkel zur positiven x-Achse

\alpha_1 = 90^\circ

\alpha_2 = 250^\circ

\alpha_3 = 320^\circ

 

2. Schritt: Komponenten mittels Kosinus und Sinus berechnen

Rx mit Kosinus und Winkel zur positiven x-Achse:

F_{x1} = F_1 \cdot \cos(90^\circ) = 80 N \cdot \cos(90^\circ) = 0 N

F_{x2} = F_2 \cdot \cos(250^\circ) = 150 N \cdot \cos(250^\circ) = -51,30 N

F_{x3} = F_3 \cdot \cos(320^\circ) = 100 N \cdot \cos(320^\circ) = 76,60 N

 

Ry mit Sinus und Winkel zur positiven x-Achse:

F_{y1} = F_1 \cdot \sin(90^circ) = 80 N \cdot \sin(90^\circ) = 80 N

F_{y2} = F_2 \cdot \sin(250^\circ) = 150 N \cdot \sin(250^circ) = -140,95 N

F_{y3} = F_3 \cdot \sin(320^\circ) = 100 N \cdot \sin(320^\circ) = -64,28 N

 

3. Schritt: Berechnung der Teilresultierenden

Summation der Komponenten in x-Richtung (Vorzeichen beachten):

R_x = 0 N - 51,30 N + 76,60 N = 25,30 N

 

Summation der Komponenten in y-Richtung (Vorzeichen beachten):

R_y = 80 N - 140,95 N - 64,28 N = -125,23 N

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Teilresultierende in x-Richtung und y-Richtung

 

Aufgabe 3: Resultierende (Betrag)

Aufgabenstellung

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Beispiel: Teilresultierende

 

 

Zu welcher der beiden Grafiken gehört die Resultierende mit einem Betrag von 50 N?

 

Die Resultierenden kann aus den Teilresultierenden mittels Satz des Pythagoras berechnet werden:

F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(40 N)^2 + (30 N)^2} = 50 N

F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(30 N)^2 + (20 N)^2} = 36,06 N

Die Resultierende gehört zu der Grafik 1).

 

Aufgabe 4: Resultierende (Betrag + Richtung)

Aufgabenstellung

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Beispiel: Resultierende aus Teilresultierenden berechnen

 

 

Berechne aus den beiden gegebenen Teilresultierenden den Betrag FR und die Richtung mit dem Winkel αFR der Resultierenden zur positiven x-Achse!

 

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Berechnung der Resultierenden

 

Den Betrag der Resultierenden berechnen wir aus den Teilresultierenden mittels Satz des Pythagoras:

F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(40 N)^2 + (30 N)^2} = 50 N

 

Für die Richtung der Resultierenden berechnen wir immer zunächst den Winkel von der Resultierenden zur Teilresultierenden Rx mittels Tangens:

\tan(\gamma) = \frac{R_y}{R_x}

 

Auflösen nach dem Winkel \gamma mittels Arkustangens (\tan^{-1}):

\gamma = \tan^{-1} (\frac{R_y}{R_x})

\gamma = \tan^{-1} (\frac{30 N}{40 N})

\gamma = 36,87^\circ

 

Der Winkel von der Resultierenden F_R zur Teilresultierenden R_x ist gleich dem Winkel zur positiven x-Achse:

\alpha_{F_R} = \gamma = 36,87^\circ

 

Grund dafür ist, dass die Resultierende im 1. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Der Winkel zu Rist damit der Winkel zur positiven x-Achse.

 

Aufgabe 5: Resultierende (Betrag + Richtung)

Aufgabenstellung

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Beispiel: Resultierende aus mehreren Kräften berechnen

 

Gegeben seien die obigen drei Kräfte:

F_1 = 100 N

F_2 = 80 N

F_3 = 35 N

Bestimme den Betrag und die Richtung der Resultierende FR!

 

In dieser Aufgabe sollst du den Betrag und die Richtung der Resultierenden aus den gegeben drei Kräfte berechnen. Dazu kannst du dich an den folgenden Schritten orientieren:

1. Schritt: Winkel von der positiven x-Achse zu den Kräften bestimmen

2. Schritt: Kräfte in x-Komponente mittels Kosinus und y-Komponente mittels Sinus zerlegen

3. Schritt: Teilresultierende R_x und R_y berechnen (Summation der Komponenten, Vorzeichen beachten)

4. Schritt: Betrag der Resultierende aus den Teilresultierenden mittels Satz des Pythagoras bestimmen

5. Schritt: Richtung der Resultierenden (=Winkel) aus den Teilresultierenden mittels Tangens bestimmen.

 

1. Schritt: Winkel von der positiven x-Achse zu den Kräften

\alpha_1 = 0^\circ

\alpha_2 = 30^\circ

\alpha_3 = 130^\circ

 

2. Schritt: Kräfte in ihre Komponenten zerlegen

In x-Richtung mittels Kosinus:

F_{x1} = 100 N \cdot \cos(0^\circ) = 100 N

F_{x2} = 80 N \cdot \cos(30^\circ) = 69,28 N

F_{x3} = 35 N \cdot \cos(130^\circ) = -22,50 N

 

In y-Richtung mittels Sinus:

F_{y1} = 100 N \cdot \sin(0^\circ) = 0 N

F_{y2} = 80 N \cdot \sin(30^\circ) = 40 N

F_{y3} = 35 N \cdot \sin(130^\circ) = 26,81 N

 

3. Schritt: Teilresultierende bestimmen (Summen bilden)

R_x = F_{x1} + F_{x2} + F_{x3} = 100N + 69,28 N - 22,50 N = 146,78 N

R_y = F_{y1} + F_{y2} + F_{y3} = 0 N + 40 N + 26,81 N = 66,81 N

 

Da beide Teilresultierenden positiv sind, zeigen diese in positive Achsenrichtung. Die Resultierende liegt also im 1. Quadranten.

 

4. Schritt: Betrag der Resultierende bestimmen (Satz des Pythagoras)

F_R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(146,78N)^2 + (66,81 N)^2} = 161,27 N  

 

5.Schritt: Richtung der Resultierenden bestimmen (Tangens)

\tan(\gamma) = \frac{R_y}{R_x}

 

Auflösen nach \gamma:

\gamma = tan^{-1}(\frac{R_y}{R_x})                 Winkel von R_x zu F_R

 

Einsetzen:

\gamma = \tan^{-1}(\frac{66,81 N}{146,78 N}) = 24,47^\circ

 

Da die Resultierende F_R im 1. Quadranten liegt, ist dies auch gleichzeitig der Winkel zur positiven x-Achse.

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