(TM1-31) Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen

Inhaltsverzeichnis

Wir können den Schwerpunkt einer Linien oder Fläche auch mittels Seileckverfahren zeichnerisch ermitteln. Wie das genau funktioniert, schauen wir uns in dieser Lerneinheit an.

Dazu betrachten wir eine Fläche, für welche wir den Schwerpunkt grafisch bestimmen wollen.

 

Zunächst muss die Fläche in Teilflächen mit bekannter Schwerpunktlage zerlegt werden, dann wird das Seileckverfahren angewendet, um den Gesamtschwerpunkt zu bestimmen.

 

Betrachten wir dazu ein Beispiel.


Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen 


Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen
Beispiel: Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen

 

Gegeben sei das obige Profil, für welches wir den Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen wollen. Hierzu wenden wir das Seileckverfahren an.

Wie das ganze funktioniert schauen wir uns nun Schritt-für-Schritt an.

 

Schritt 1: Teilflächen mit bekannter Schwerpunktlage festlegen

Zunächst zerlegen wir das obige Profil in drei rechteckige Teilflächen mit bekannter Schwerpunktlage (mittig):

Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen
Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen: Teilflächen festlegen

 

Schritt 2: Maßstab festlegen

Danach legen wir einen Maßstab für die Flächen und für den Flächeninhalt fest

Wir wählen für unser Beispiel für das Profil als Maßstab 1cm:10cm. Wir haben also in der Zeichnung die 10-fache Verkleinerung.

Schwerpunkt grafisch bestimmen
Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen: Profil maßstäblich

 

Danach berechnen wir die Flächen gemäß des gewählten Maßstabs:

A_1 = 3 cm \cdot 0,5cm = 1,5cm^2

A_2 = 3 cm \cdot 0,5cm = 1,5cm^2

A_2 = 4 cm \cdot 0,5 cm = 2cm^2

 

Wichtig: Der Maßstab wird natürlich nicht korrekt angezeigt, da verschiedene Ausgabegeräte (Smartphone, Tablet, PC) zu einer unterschiedlichen Größendarstellung der Bilder führen. Außerdem zeigen wir die Darstellung auch gewollt unterschiedlich groß, damit das Schema klar wird.

Deswegen solltet ihr die Aufgabe zuhause nachzeichnen. So versteht ihr das Prinzip am Besten und könnt das Verfahren dann auch anwenden.

 

Schritt 3: Grafische Vektoraddition der Flächen und Polstrahlen

Wir behandeln nun den Flächeninhalt wie Kräfte und führen die grafische Vektoraddition dieser in x-Richtung und y-Richtung durch. Dabei zeichnen wir diese dem Maßstab entsprechend ein.

Wir müssen diese grafische Vektoraddition sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung vornehmen, da der Schwerpunkt von diesen beiden Koordinaten abhängt.

Der Maßstab ist hier: 1cm² = 1cm:

A_1 = 1,5cm

A_2 = 1,5 cm

A_3 = 2cm

Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen, Seileckverfahren
Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen: Vektoraddition

 

Vektoraddition

Wir reihen nun nacheinander die drei Pfeile A1 bis A3 aneinander. Einmal in x-Richtung als horizontale Pfeile und einmal in y-Richtung als vertikale Pfeile. Die Summe dieser Pfeile Ages ist in beiden Fällen gleich groß.

Polstrahlen

Danach wählen wir einen beliebigen Punkt und ziehen von den Anfangspunkten und Spitzen der Kräfte Polstrahlen (siehe Lektion Seileckverfahren unter den grafischen Verfahren in diesem Kurs).

Der erste Polstrahl 0 wird an den Anfangspunkt der zuerst gewählten Fläche A1 gelegt, der letzte Polstrahl 3 berührt die Spitze der zuletzt gewählten Fläche A3.

 

Schritt 4: Seileckverfahren

Als nächstes zeichnen wir das gegebene Profil gemäß des gewählten Maßstabs (1cm:10cm) ein und legen in die Schwerpunkte der Teilflächen die Wirkungslinien der obigen drei Flächen.

y-Richtung

Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen, Seileckverfahren
Seileckverfahren: Schwerpunktlage in y-Richtung

 

Die Polstrahlen werden nun wie folgt eingezeichnet. 

Wir starten mit Polstrahl 0. Dieser beginnt gemäß Vektoraddition bei A1, also legen wir diesen an die Wirkungslinien von A1.

Der Polstrahl 1 liegt gemäß Vektoraddition an der Spitze von A1 und am Anfangspunkt von A2. Wir legen diese demnach in den Schnittpunkt von Polstrahl 0 und Wirkungslinie von A1 und er muss zusätzlich die Wirkungslinie von A2 berühren. 

Den Polstrahl 2 legen wir in den Schnittpunkt von Polstrahl 1 und A2 und er muss zusätzlich die Wirkungslinie von A3 berühren.

Den Polstrahl 3 legen wir in den Schnittpunkt von Polstrahl 2 und A3.


Der erste Polstrahl 0 und der letzte Polstrahl 3 müssen sich nun schneiden. Wir verlängern beide Polstrahlen also so, dass sie zum Schnitt kommen:

Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen, Seileckverfahren
Seileckverfahren: Schwerpunktlage bestimmen

 

Wir zeichnen durch diesen Schnittpunkt eine vertikale Linie. Irgendwo auf dieser Linie befindet sich der Schwerpunkt. Um herauszufinden wo genau, benötigen wir in einem zweiten Schritt das Seileckverfahren für die Flächen in x-Richtung.

x-Richtung

Wir zeichnen die Wirkungslinien von A1 bis A3 horizontal in die Schwerpunkte der Teilflächen und legen die Polstrahlen 0 bis 3 analog zur obigen Vorgehensweise an die Wirkungslinien:

Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen, Seileckverfahren
Seileckverfahren: Schwerpunktlage bestimmen

 

Wir verlängern wieder den ersten Polstrahl 0 und den letzten Polstrahl 3 und führen diese beiden Polstrahlen zum Schnitt. In diesem Schnittpunkt legen wir die horizontale gestrichelte rote Linie. Irgendwo auf dieser Linie befindet sich der Schwerpunkt.

Wenn wir nun beide roten gestrichelten Linien in einer Grafik betrachten, dann liegt der SChwerpunkt im Schnittpunkt dieser beiden Linien:

Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen, Seileckverfahren
Gesamtschwerpunkt

 

In der obigen Grafik siehst du den Gesamtschwerpunkt im Schnittpunkt der beiden ermittelten roten Linien. Wir müssen noch ein Bezugskoordinatensystem festlegen, von welchem wir ausgehend die Abmessungen zur Schwerpunktlage vornehmen. 

Dazu haben wir das Koordinatensystem wie oben gezeichnet beliebig gewählt. Vom Koordinatenursprung ausgehend sind dann die Abmessungen in x-Richtung und in y-Richtung jeweils 1,3 cm. Einmal in negative x-Richtung und einmal in positive y-Richtung.

 

Schritt 5: Probe durchführen

Wir können nun zur Überprüfung des obigen ermittelten Gesamtschwerpunktes die Probe durchführen, indem wir die Berechnung vornehmen. Dazu betrachten wir das obige Koordinatensystem und die Abmessungen zu den Schwerpunkten hin:

x_S = \dfrac{x_1 \cdot A_1 + x_2 \cdot A_2 + x_3 \cdot A_3}{A_1 + A_2 + A_3}

x_S = \dfrac{-2cm \cdot 2cm^2 - 0,25cm \cdot 1,5cm^2 - 1,5cm  \cdot 1,5cm^2}{2cm^2 + 1,5cm^2 + 1,5cm^2}

x_S = -1,325 cm

 

y_S = \dfrac{y_1 \cdot A_1 + y_2 \cdot A_2 + y_3 \cdot A_3}{A_1 + A_2 + A_3}

y_S = \dfrac{-0,25cm \cdot 2cm^2 + 1,5cm \cdot 1,5cm^2 + 3,25cm \cdot 1,5cm^2 }{2cm^2 + 1,5cm^2 + 1,5cm^2}

y_S = 1,325 cm

 

Die Probe zeigt uns, dass die grafische Ermittlung des Gesamtschwerpunktes mittels Seileckverfahren zum selben Ergebnis führt.

 

Nachdem du jetzt weißt wie man Flächenschwerpunkte grafische bestimmen kann, nehmen wir uns im kommenden Kurstext den Schnittgrößen an. 

 

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