TM1 – Seileckverfahren – Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen

Wir können den Schwerpunkt einer Linien oder Fläche auch mittels Seileckverfahren zeichnerisch ermitteln. Wie das genau funktioniert, schauen wir uns in dieser Lerneinheit an. Dazu betrachten wir eine Fläche, für welche wir den Schwerpunkt grafisch bestimmen wollen.

Wir betrachten in dieser Lerneinheit, wie das Seileckverfahren zur Bestimmung eines Schwerpunktes angewendet wird.

Für ein optimales Verständnis hilft dir ein anschauliches Rechenbeispiel zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Statik findest du in unserem Onlinekurs TM1-Statik.

Betrachten wir ein Beispiel.

Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen – Seileckverfahren

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Gegeben sei das obige Profil, für welches wir den Flächenschwerpunkt grafisch bestimmen wollen. Hierzu wenden wir das Seileckverfahren an.

Wie das ganze funktioniert schauen wir uns nun Schritt-für-Schritt an.

Schritt 1: Teilflächen mit bekannter Schwerpunktlage festlegen

Zunächst zerlegen wir das obige Profil in drei rechteckige Teilflächen mit bekannter Schwerpunktlage (mittig):

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Schritt 2: Maßstab festlegen

Danach legen wir einen Maßstab für die Flächen und für den Flächeninhalt fest

Wir wählen für unser Beispiel für das Profil als Maßstab 1cm:10cm. Wir haben also in der Zeichnung die 10-fache Verkleinerung.

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Danach berechnen wir die Flächen gemäß des gewählten Maßstabs:

$A_1 = 3 cm \cdot 0,5cm = 1,5cm^2$

$A_2 = 3 cm \cdot 0,5cm = 1,5cm^2$

$A_2 = 4 cm \cdot 0,5 cm = 2cm^2$

Wichtig: Der Maßstab wird natürlich nicht korrekt angezeigt, da verschiedene Ausgabegeräte (Smartphone, Tablet, PC) zu einer unterschiedlichen Größendarstellung der Bilder führen. Außerdem zeigen wir die Darstellung auch gewollt unterschiedlich groß, damit das Schema klar wird.

Deswegen solltet ihr die Aufgabe zuhause nachzeichnen. So versteht ihr das Prinzip am Besten und könnt das Verfahren dann auch anwenden.

Schritt 3: Grafische Vektoraddition der Flächen und Polstrahlen

Wir behandeln nun den Flächeninhalt wie Kräfte und führen die grafische Vektoraddition dieser in x-Richtung und y-Richtung durch. Dabei zeichnen wir diese dem Maßstab entsprechend ein.

Wir müssen diese grafische Vektoraddition sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung vornehmen, da der Schwerpunkt von diesen beiden Koordinaten abhängt.

Der Maßstab ist hier: 1cm² = 1cm:

$A_1 = 1,5cm$

$A_2 = 1,5 cm$

$A_3 = 2cm$

Vektoraddition

Wir reihen nun nacheinander die drei Pfeile A₁ bis A₃ aneinander. Einmal in x-Richtung als horizontale Pfeile und einmal in y-Richtung als vertikale Pfeile. Die Summe dieser Pfeile A_ges ist in beiden Fällen gleich groß.

Polstrahlen

Danach wählen wir einen beliebigen Punkt und ziehen von den Anfangspunkten und Spitzen der Kräfte Polstrahlen (siehe Lektion Seileckverfahren unter den grafischen Verfahren in diesem Kurs).

Der erste Polstrahl 0 wird an den Anfangspunkt der zuerst gewählten Fläche A₁ gelegt, der letzte Polstrahl 3 berührt die Spitze der zuletzt gewählten Fläche A_3.

Schritt 4: Seileckverfahren

Als nächstes zeichnen wir das gegebene Profil gemäß des gewählten Maßstabs (1cm:10cm) ein und legen in die Schwerpunkte der Teilflächen die Wirkungslinien der obigen drei Flächen.

y-Richtung

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Die Polstrahlen werden nun wie folgt eingezeichnet.

Wir starten mit Polstrahl 0. Dieser beginnt gemäß Vektoraddition bei A₁, also legen wir diesen an die Wirkungslinien von A₁.

Der Polstrahl 1 liegt gemäß Vektoraddition an der Spitze von A₁ und am Anfangspunkt von A₂. Wir legen diese demnach in den Schnittpunkt von Polstrahl 0 und Wirkungslinie von A₁ und er muss zusätzlich die Wirkungslinie von A2 berühren.

Den Polstrahl 2 legen wir in den Schnittpunkt von Polstrahl 1 und A₂ und er muss zusätzlich die Wirkungslinie von A₃ berühren.

Den Polstrahl 3 legen wir in den Schnittpunkt von Polstrahl 2 und A3.

Der erste Polstrahl 0 und der letzte Polstrahl 3 müssen sich nun schneiden. Wir verlängern beide Polstrahlen also so, dass sie zum Schnitt kommen:

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Wir zeichnen durch diesen Schnittpunkt eine vertikale Linie. Irgendwo auf dieser Linie befindet sich der Schwerpunkt. Um herauszufinden wo genau, benötigen wir in einem zweiten Schritt das Seileckverfahren für die Flächen in x-Richtung.

x-Richtung

Wir zeichnen die Wirkungslinien von A₁ bis A₃ horizontal in die Schwerpunkte der Teilflächen und legen die Polstrahlen 0 bis 3 analog zur obigen Vorgehensweise an die Wirkungslinien:

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Wir verlängern wieder den ersten Polstrahl 0 und den letzten Polstrahl 3 und führen diese beiden Polstrahlen zum Schnitt. In diesem Schnittpunkt legen wir die horizontale gestrichelte rote Linie. Irgendwo auf dieser Linie befindet sich der Schwerpunkt.

Wenn wir nun beide roten gestrichelten Linien in einer Grafik betrachten, dann liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt dieser beiden Linien:

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In der obigen Grafik siehst du den Gesamtschwerpunkt im Schnittpunkt der beiden ermittelten roten Linien. Wir müssen noch ein Bezugskoordinatensystem festlegen, von welchem wir ausgehend die Abmessungen zur Schwerpunktlage vornehmen.

Dazu haben wir das Koordinatensystem wie oben gezeichnet beliebig gewählt. Vom Koordinatenursprung ausgehend sind dann die Abmessungen in x-Richtung und in y-Richtung jeweils 1,3 cm. Einmal in negative x-Richtung und einmal in positive y-Richtung.

Schritt 5: Probe durchführen

Wir können nun zur Überprüfung des obigen ermittelten Gesamtschwerpunktes die Probe durchführen, indem wir die Berechnung vornehmen. Dazu betrachten wir das obige Koordinatensystem und die Abmessungen zu den Schwerpunkten hin:

$x_S = \dfrac{x_1 \cdot A_1 + x_2 \cdot A_2 + x_3 \cdot A_3}{A_1 + A_2 + A_3}$

$x_S = \dfrac{-2cm \cdot 2cm^2 - 0,25cm \cdot 1,5cm^2 - 1,5cm \cdot 1,5cm^2}{2cm^2 + 1,5cm^2 + 1,5cm^2}$

$x_S = -1,325 cm$

$y_S = \dfrac{y_1 \cdot A_1 + y_2 \cdot A_2 + y_3 \cdot A_3}{A_1 + A_2 + A_3}$

$y_S = \dfrac{-0,25cm \cdot 2cm^2 + 1,5cm \cdot 1,5cm^2 + 3,25cm \cdot 1,5cm^2 }{2cm^2 + 1,5cm^2 + 1,5cm^2}$

$y_S = 1,325 cm$

Die Probe zeigt uns, dass die grafische Ermittlung des Gesamtschwerpunktes mittels Seileckverfahren zum selben Ergebnis führt.

Nachdem du jetzt weißt wie man Flächenschwerpunkte grafische bestimmen kann, nehmen wir uns im kommenden Kurstext den Schnittgrößen an.

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