(WT3-04) – Gittereigenschaften, Millersche Indizes

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Inhaltsverzeichnis:
In diesem Kursabschnitt schauen wir uns die Gittereigenschaften und Millersche Indizes näher an.

Für ein optimales Verständnis helfen dir  drei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der Werkstofftechnik findest du im Kurs: WT3-Werkstoffprüfung 

 

Die Gittereigenschaften geben uns Aufschluss hinsichtlich des Aufbaus eines Kristallgitters. Dabei unterscheiden wir verschiedene geometrische Eigenschaften bei der Beschreibung. 

 


Gittereigenschaften – Gitterrichtungen


“Die Gitterrichtungen lassen sich mit Hilfe der Gittergeraden beschreiben.”

Ganz genau, ich erinnere mich…

Wie du bereits, weißt handelt es sich dabei um die Geraden, auf denen sich in regelmäßigen Abständen Atome befinden. Es handelt sich um eine eindimensionale Betrachtung der Elementarzelle.

 

Die Gittergeraden können mit Hilfe von Vektoren beschrieben werden. Diese Vektoren zeigen vom Koordinatenursprung bis zum Mittelpunkt des betrachteten Atoms.

Für die Koordinaten der Gittergeraden nutzt man immer ganzzahlige Angaben. Aus diesem Grund spricht man auch von teilerfremden Koordinaten.

Zur Verbildlichung der Vorgehendesweise betrachten wir nun stellvertretend für die anderen Gittertypen das orthorhombische Gitter:

 


Methode


Wir kennen ja bereits die Geometrie diese Gittertyps als eine der Gittereigenschaften. Es ist angegeben mit:

 

 \boxed{ a \not= b \not= c }

sowie

 \boxed{ \alpha = \beta = \gamma = 90° }

 

Mit Hilfe von Richtungsindizes u, v, w können wir die Gitterrichtung genau beschreiben.

Darüberhinaus berücksichtigen wir die Abmessungen der Elementarzelle

 

 \boxed{ a_0, b_0, c_0 }

sowie

Die Einheitsvektoren mit der Länge 1

 \boxed{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} }

 

Mit Hilfe dieser Angaben können wir nun die Position des Gitteratoms p_a durch die Resultierende R bestimmen.

Dabei gilt:  \boxed{ R = u }

In unserem Fall wäre dies:

 \boxed{ p_a[ u \cdot a_0 \cdot \vec{i} + v \cdot b_0 \cdot \vec{j} + w \cdot c_0 \cdot \vec{k} ] }

 

Die Einzelnen Summanden werden nicht miteinander addiert. Stattdessen tauchen sie lediglich als Zahlenfolge auf.

 


Beispiele 1 – 3 


Damit du ein Gefühl davon bekommst, wie mit diesen Angaben umzugehen ist, folgen nun 3 Beispiele:

Beispiel 1

Fall 1:  \boxed{ u' = 1, v' = 1, w' = 1}, so ist p = 1 und u = v = w = 1
Die Angabe der Koordinaten ist dann folgende: [111]
Merke: Dieser Fall ist sehr einfach, da es keine Brüche oder sonstiges gibt.

 

Beispiel 2

Fall 2:  \boxed{ u' = \frac{1}{3} , v' = \frac{3}{4}, w' = \frac{1}{2} }, so ist p = \frac{1}{12} und u = 4 v = 9 w = 6
Die Angabe der Koordinaten ist dann folgende: [496]

 

Merk’s dir!

Ergänzung zu Beispiel 2: Falls du dich jetzt fragst wie die Zahlen der Koordinaten-Angabe zustande kommen, dann folgt hier die Lösung: Alle Nenner benötigen den gleichen Wert und der erste gemeinsame Teiler von u', v', w' ist 12. Daher müssen wir die Nenner entsprechend gleichnamig machen. Dieser Multiplikator muss dann mit dem Wert von dem Zähler multipliziert werden und wir haben dann unsere Angabe.

  • 4 ergibt sich auch aus der Multiplikation des Bruchs mit dem Wert 4 um den gleichen Nenner für u' zu erhalten wie für p. Da im Zähler von u' nur eine 1 steht wird daraus der Wert 4
  • 9 ergibt sich ebenfalls aus der Multiplikation des Bruchs mit dem Wert 3 um den gleichen Nenner für v' zu erhalten wie für p. Da im Zähler von v' bereits eine 3 steht wird daraus der Wert 9
  • 6 ergibt sich auch aus der Multiplikation des Bruchs mit dem Wert 6 um den gleichen Nenner für w' zu erhalten wie für p. Da im Zähler von w' nur eine 1 steht wird daraus der Wert 6

 

Beispiel 3

Fall 3:  \boxed{ u' = \frac{1}{8} , v' = - \frac{1}{2}, w' = \frac{1}{2} }, so ist p = \frac{1}{8} und u = 1, v = -4, w = 4
Die Angabe der Koordinaten ist dann folgende: [1\overline{4}4]

 

Merk’s dir!

Ergänzung zu Beispiel 3: Das Prinzip ist das gleiche wie im Fall 2. Der Unterschied ist hier, dass einer der Werte negativ ist mit -4. Diesen Umstand berücksichtigen wir bei der Koordinatenangabe nicht mit einem Minuszeichen, sondern mit einen Strich über dem entsprechenden Zahlenwert.

 

Das wusste ich noch gar nicht…

In allen Fällen geben wir die reziproken Werte an! Denn sobald alle Werte auf den Hauptnenner gebracht wurden, können wir die Brüche entfernen, da diese keinen Einfluss auf das Zahlenverhältnis besitzen.

 


Gittereigenschaften – Würfelkanten


Die Würfelkanten als Gittereigenschaften werden im kubischen Gitter ebenfalls bestimmt. Hier könnte folgende Angabe vorliegen:

[100], [010], [001]

Die Angabe der Gesamtheit der Würfelkanten wäre dann folgende <100>.

Damit wird gekennzeichnet, dass alle aus kristallographischer Sicht gleichwertig sind.

 


Gittereigenschaften – Millersche Indizes


“Jetzt gehen wir von der eindimensionalen Beschreibung über zur zweidimensionalen Beschreibung von Elementarzellen, indem wir nun die Ebenen von Gittern bestimmen.”

Diese Ebenen können in das Gitter gelegt werden und darauf befinden sich dann entsprechend die Atome.

Aus diesem Grund spricht man auch von Atomebenen oder halt von Netzebenen.

 


Miller’sche Indizes – Überblick


Zur einheitlichen Erfassung der Gitter und um eine Vergleichbarkeit zu ermöglichen, nutzt man die Miller’schen Indizes h, k, l.

 

Gittereigenschaften - Miller'sche Indizes
Gittereigenschaften – Miller’sche Indizes

 

Wir starten damit, dass wir ein räumliches Koordinatensystem in das Gitter legen. Anschließend setzen wir die Bereiche, welche die Ebene von den Achsen abtrennt, zueinander in ein Verhältnis.

Dabei verzichten wir auf die herkömmlichen Angaben wie cm, mm oder nm. Stattdessen verwenden wir Gitterparameter.

 

Aber aufgepasst!…

Bitte verzichte darauf den Achsenursprung in die zu induzierende Ebene zu legen. Tust du dies doch, so besteht die Gefahr, dass du Abschnitte der Achsen erhältst, die den Wert 000 aufweisen. Und so können wir keine Verhältnisse erzeugen.

Also achte darauf, dass du die indizierende Fläche oder umgekehrt das Achsenkreuz parallel zur Ausgangsposition verschiebst.

Wie bei den Gittergeraden verwenden wir ebenfalls die reziproken Werte, denn nachdem wir die Werte auf einen gemeinsamen Nenner gebracht haben, können wir letzteren streichen, da dieser ja keinen Einfluss mehr auf das Zahlenverhältnis haben.

 


Methode – Grundlagen


Für ein besseres Verständnis, schauen wir uns die nachfolgende Abbildung genauer an. Hier haben wir die Ebene so gelegt, dass zwei Elementarzellen teilweise indiziert werden.

 

Gittereigenschaften - Miller'sche Indizes
Gittereigenschaften – Miller’sche Indizes

 

Der Abbildung können wir entnehmen, dass mit a,b,c drei Gitterparameter gegeben sind, die die Achsenabschnitte beschreiben. Man bezeichnet sie als Ableitungskoeffizienten.

Lösungsschema

Zur Lösung verwenden wir ein Schema, welches sich in insgesamt 7 Schritte unterteilt.

  1. Erfassung der Ableitungskoeffizienten: Für unseren Fall ergeben sich die folgenden Koeffizienten in „alphabetischer“ Reihenfolge:

     \boxed{abc = 121}
  2. Die Zahlen setzen wir jetzt einfach in ein Verhältnis zueinander:

     \boxed{1:2:1}

  3. Anschließend bilden wir die reziproken Werte:

     \boxed{ \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{1}}

  4. Jetzt überlegen wir, welcher der 1. gemeinsame Nenner ist. In unserem Fall wäre das jetzt der Wert 2:

     \boxed{ \frac{2}{2} : \frac{1}{2} : \frac{2}{2} }

  5. Wie in den Malen davor, streichen wir einfach Nenner bei allen Werten:

     \boxed{2:1:2}

  6. Dies Werte setzen wir jetzt in runde Klammern, die Verhältnispunkte lassen wir dabei weg.

     \boxed{(212)}

  7. Jetzt sind wir am Ziel und haben die Angabe der Miller’scher Indizes (hkl) mit (212)

 

Merk’s dir!

Falls es dir gerade entfallen ist, die Gitterebenen werden immer mit runden Klammern angegeben, die Gitterrichtungen hingegen mit eckigen Klammern.
Und wenn auschließlich eine Ebenenart ermittelt, bzw. dargestellt werden soll, dann werden die Miller’schen Indizes in geschweifte Klammer gesetzt.

  • Gitterebenen: (…)
  • Gitterrichtungen: […]
  • 1 Ebenenart: (…)

 

Das ist ja einfach…

Das kubische Kristallsystem ist ein besonderes System, denn hier stimmen Gitterrichtungen und Gitterebenen überein.

 

Das ist ja kompliziert….

Anders verhält es sich beim hexagonalen Kristallsystem. Denn hier werden die Indizes der Richtungen und der Ebenen mit vier statt drei Ziffern angegeben.

Gitterrichtungen: Hier kommt das Indize t dazu. Die gesamte Angabe ist dann folgende: [uvtw]

Gitterebenen: Auch hier kommt mit i ein Indize hinzu. Die gesamte Angabe sieht hier wie folgt aus: (hkil)

 


Methode – Bestimmung der Indizes der Gitterrichtungen


Erneut legen wir einen Richtungsvektor durch den Koordinatenursprung und verlängern diesen mit zum Eckpunkt (Atom) einer Elementarzelle.

Anschließend lesen die in Gitterparameter angegebenen Projektionen des Vektors auf den Achsen a, b,d als Zahlen u,v,w abgelesen. Auf das Ablesen der Projektion auf der c-Achse verzichten wir.

Diese Zahlen genügen uns um jetzt die vier Ziffern [hkil] zu ermitteln:

  1.  \boxed{ h = 2 \cdot u - v }
  2.  \boxed{ k = 2 \cdot v - u }
  3.  \boxed{ i = - (u + v) } oder  \boxed{ i = -(h + k)} [NEU]
  4.  \boxed{ l = 3 \cdot w}

Die übrige Vorgehensweise mit gemeinsamen Teiler finden, usw. kennst du ja bereits.

 


Methode – Bestimmung der Indizes der Gitterebenen


Auch hier verwendest du die gleichen Gleichungen wir bei der Bestimmung der Indizes der Gitterrichtungen.

 

So geht’s weiter

“Nachdem du jetzt einen Überblick zu den Gittereigenschaften erhalten hast, gehen wir im kommenden Kursabschnitt ausführlich auf die unterschiedlichen Formen von Gitterdefekten im Detail ein.”

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