(Ph1-06) Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken

Inhaltsverzeichnis

 

In dieser Lerneinheit zeigen wir dir ausführlich, wie du den Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken anwendest. Dabei erlernst sehr übersichtlich und einfach, wie der Tangens zur Berechnung einer Seite oder eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck verwendet wird.

 


Für ein optimales Verständnis helfen dir vier ausführlich gelöste Beispiele.


 


Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken – Grundlagen


Jetzt schauen wir uns an, wie der Tangens bei rechtwinkligen Dreieck verwendet wird. Dieser hilft uns zur Berechnung einer Seite oder eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck.

 

Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken
Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken

 

Du kannst den Tangens eines spitzen Winkels berechnen, indem du den Quotient aus der Länge der Gegenkathete und der Ankathete bildest:

 

 \boxed{\tan(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}

 

Sind in einem rechtwinkligen Dreieck zwei der drei obigen Größen gegeben, so kannst du die dritte Größe mit dem Tangens berechnen. Schauen wir uns zunächst einmal an, wie die obige Gleichung nach der Ankathete, Hypotenuse und nach dem Winkel \alpha aufgelöst wird.

 


Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken – Ankathete


Ist in der Aufgabe die Gegenkathete und der Winkel \alpha gegeben und du sollst die Ankathete berechnen, also die Seite am spitzen Winkel \alpha, dann musst du die obige Gleichung nach der Ankathete auflösen:

 

 \boxed{\text{Ankathete} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{ \tan(\alpha) }}

 


Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken – Gegenkathete


Ist in der Aufgabe die Ankathete und der Winkel \alpha gegeben und du sollst die Gegenkathete berechnen, also die Seite gegenüber vom spitzen Winkel \alpha, dann musst du die obige Gleichung nach der Gegenkathete auflösen:

 

 \boxed{\text{Gegenkathete} = \text{Ankathete} \cdot \tan(\alpha) }

 


Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken – Winkel


Wenn du den Winkel berechnen sollst und es ist die Ankathete und die Gegenkathete gegeben, dann musst du die obige Gleichung nach dem Winkel \alpha auflösen. Dazu benötigst du den Arkustangens (\tan^{-1} bzw. arctan). Der Arkustangens ist die Umkehrfunktion des Tangens. Wendest du diese Umkehrfunktion auf \tan(\alpha) an, so fällt der Tangens weg und es bleibt der Winkel \alpha stehen. Du darfst aber nicht vergessen den Arkustangens auf der anderen Seite der Gleichung anzuwenden.

 

Wir betrachten die obige Gleichung und wenden auf beiden Seiten den Arkustangens an:

 

\tan^{-1} (\tan(\alpha)) = \tan^{-1} (\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}})

 

Auf der linken Seite fällt Tangens einfach weg und es verbleibt der Winkel. Auf der rechten Seite bleibt der Arkustangens stehen:

 

 \boxed{\alpha = \tan^{-1}(\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}})}          Berechnung des Winkels mittels Tangens

 

Zur Berechnung einer Seite oder eines Winkels mittels Tangens müssen also zwei der drei Größe innerhalb der Gleichung gegeben sein. Wir schauen uns dazu die nachfolgenden Beispiele an.

 


Beispiele: Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken


Schauen wir uns dazu mal die nachfolgenden Beispiele an, in denen wir mittels Tangens die Gegenkathete, den Winkel und die Ankathete eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmen.

 


Beispiel 1: Berechnung der Gegenkathete mittels Tangens


Aufgabenstellung
Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken
Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken

 

Gegeben sei das obige rechtwinklige Dreieck mit dem Spitzen Winkel α = 30° und der Seitenlänge von 7cm.

Berechne die Seite b!

 

Lösung

Zunächst müssen wir herausfinden, welche Größen wir gegeben haben. Wir haben zum einen den spitzen Winkel mit 30° gegeben und zum anderen die Seite am spitzen Winkel – die Ankathete. Gesucht wird die Seite gegenüber vom spitzen Winkel – die Gegenkathete.

 

Gegeben: Spitzer Winkel, Ankathete

Gesucht: Gegenkathete

Formel: Tangens

 

Wir können in diesem Beispiel den Tangens anwenden, weil wir die Ankathete und den spitzen Winkel gegeben haben und die Gegenkathete suchen. Dazu wählen wir die Gleichung aufgelöst nach der Gegenkathete:

 

 \boxed{\text{Gegenkathete} = \text{Ankathete} \cdot \tan(\alpha) }

 

Als nächstes setzen wir die gegebenen Werte ein:

 

a = 7 cm \cdot \tan(30^{\circ})

 

Der Taschenrechner liefert das folgende Ergebnis:

 

a = 4,04 cm

 

 


Beispiel 2: Berechnung des Winkels mittels Tangens


Aufgabenstellung
Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken
Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken

 

Gegeben sei das obige rechtwinklige Dreieck mit den beiden Seitenlängen 5 cm und 3 cm.

Berechne den Winkel α!

 

Lösung

In diesem Beispiel sind zwei Seitenlängen gegeben, aus denen der Winkel berechnet werden soll. Zunächst müssen wir festlegen, welche Seiten in Bezug auf den Winkel α gegeben sind. Die Seitenlänge 5 cm liegt am betrachteten Winkel α und ist damit die Länge der Ankathete. Die Seitenlänge 3 cm liegt gegenüber vom betrachteten Winkel und ist damit die Gegenkathete.

 

Gegeben: Ankathete, Gegenkathete

Gesucht: Winkel

Formel: Tangens

 

Wir wenden hier den Tangens an, weil dieser alle relevanten Größe enthält. Wir wählen die nach \alpha aufgelöste Gleichung, weil der Winkel gesucht ist:

 

 \boxed{\alpha = \tan^{-1}(\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}})}

 

Danach setzen wir die gegebenen Seitenlängen ein:

 

\alpha = \tan^{-1}(\dfrac{3 cm}{5 cm})

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Der Arcustangens ist die Umkehrfunktion des Tangens und wird verwendet, um die obige Gleichung nach dem Winkel \alpha aufzulösen. Dazu werden beide Seiten mit dem Arkustangens multipliziert. Dort wo der Tangens steht, verbleibt der Winkel. Geschrieben wird der Arcustangens mit arctan oder \tan^{-1}.

 

 

Der Taschenrechner liefert das Ergebnis:

 

\alpha = 30,96 ^{\circ}

 

Der Winkel \alpha des obigen Dreiecks beträgt 30,96°.

 


Beispiel 3: Berechnung der Ankathete


Aufgabenstellung
Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken
Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken

 

Gegeben sei das obige rechtwinklige Dreieck mit dem Spitzen Winkel α = 64° und der Seitenlänge von 10 cm.

Berechne die Seite b!

Lösung

Zunächst müssen wir herausfinden, welche Größen wir gegeben haben. Wir haben zum einen den spitzen Winkel mit 64° gegeben und zum anderen die Seite gegenüber vom spitzen Winkel – die Gegenkathete. Gesucht wird die Seite am spitzen Winkel – die Ankathete.

 

Gegeben: Spitzer Winkel, Gegenkathete

Gesucht: Ankathete

Formel: Tangens

 

Für die Berechnungen verwenden wir die Gleichung (oben auf der Seite), die nach der Ankathete aufgelöst ist:

 

 \boxed{\text{Ankathete} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{ \tan(\alpha) }}

 

Als nächstes setzen wir die in der Aufgabenstellung gegebenen Werte ein:

 

b = \dfrac{10 cm}{\tan(64^{\circ})}

 

Nach der Eingabe in den Taschenrechner, erhalten wir das folgende Ergebnis:

 

b = 4,88 cm

 

Die Länge der Ankathete beträgt 4,88 Zentimeter.

 


Beispiel 4: Berechnung des Winkels mittels Tangens


Aufgabenstellung
Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken
Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken

 

Gegeben sind zwei 1m breite Mauern, die in einem Abstand von 5m zueinander stehen. Die linke Mauer ist 6m hoch, die rechte Mauer 4m hoch. Beide Mauern sollen mit einem Schrägdach miteinander verbunden werden. 

Berechne den Winkel α!

 

Lösung

Wir wollen den Winkel α bestimmen. Dazu können wir das rechtwinklige Dreieck heranziehen, welches in der obigen Grafik grau hinterlegt ist:

 

Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken
Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken

 

 

Wir bestimmen hier den Winkel γ von der schrägen des Dreiecks (=Dachschräge) hin zur Vertikalen. Mehr brauchen wir in diesem Fall gar nicht zu berechnen, da der gesuchte Winkel α sich aus dem Winkel γ  und aus einem 90°-Winkel (Winkel von der Vertikalen zur Horizontalen) zusammensetzt.

 

Zur Berechnung des Winkel verwenden wir den Tangens:

 

\tan(\gamma) = \frac{5m}{2m}

 

Auflösen nach dem Winkel γ:

 

\gamma = \tan^{-1}(\frac{5m}{2m})

 

\gamma = 68,2^{\circ}

 

Der Winkel α ergibt sich demnach wie folgt:

 

\alpha = \gamma + 90^{\circ} = 68,2^{\circ} + 90^{\circ} = 158,2^{\circ}

 

 

wie gehts weiter
Wie geht's weiter?
Nachdem wir jetzt ausführlich das Thema Tangens bei rechtwinkligen Dreiecken behandelt haben, betrachten wir in der folgenden Lerneinheit den Satz des Pythagoras, der ebenfalls auf rechtwinklige Dreiecke angewendet wird, um aus zwei gegebenen Seite die unbekannte dritte Seite zu berechnen.

 

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