PH5 – Temperatur konstant: Gesetz von Boyle-Mariotte [Beispiel&Video]

Das Gesetz von Boyle-Mariotte besagt, dass Druck und Volumen eines idealen Gases umgekehrt proportional zueinander sind, wenn die Temperatur konstant gehalten wird. Erhöht sich zum Beispiel das Volumen um das 10-fache, so sinkt der Druck um das 10-fache.

In dieser Lerneinheit betrachten wir das Gesetz von Boyle-Mariotte und zeigen dir, wann du das Gesetz anwenden kannst und was damit berechnet wird.

Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH5 – Wärmelehre auf Technikermathe.de

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und ein anschauliches Rechenbeispiele zu dem Thema.

Gesetz von Boyle-Mariotte (Temperatur konstant)

Das Gesetz von Boyle-Mariotte stellt einen Zusammenhang zwischen dem Druck p und dem Volumen V eines idealen Gases her, wenn die Temperatur T konstant gehalten wird, sich also nicht verändert.

Das Ergebnis: Das Volumen ist umgekehrt proportional zum Druck bei Konstanthaltung der Temperatur.

Wird das Volumen eines Gases bei konstanter Temperatur um das 10-fache erhöht, so sinkt der Druck um das 10-fache. Wird der Druck um das doppelte erhöht, so sinkt das Volumen um die Hälfte.

Betrachten wir das nachfolgende Experiment, um das Gesetz von Boyle-Mariotte zu erklären:

Boyle, Mariotte, NASA — Quelle: https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/boyle.htm

Wir sehen in der obigen animierten Grafik, ein ideales Gas (schwarze Punkte) in einem Kolben. Dieses Gas nimmt zunächst ein Volumen von 4 Liter ein. Wird nun der Kolben durch eine Kraft (hier: Gewichte) nach unten bewegt, so wird das Gas komprimiert. Damit reduziert sich das Volumen auf 2 Liter.

Wir haben also zunächst eine Volumenabnahme von 4 Liter auf 2 Liter gegeben, also genau um die Hälfte.

Eigentlich würde neben einem Anstieg des Drucks p auch die Temperatur T steigen. Diese wird aber zum Beispiel mittels eines Kältebads konstant gehalten, so dass sich das Gas nicht erhitzt.

Die Temperatur wird konstant gehalten, z.B. mittels Kältebad.

Der Druck steigt an. Zu Beginn beträgt der Druck 1 bar. Nachdem das Gas komprimiert wurde, beträgt der Druck 2 bar.

Wir haben eine Druckzunahme von 1 bar auf 2 bar gegeben. Damit hat sich der Druck verdoppelt.

Druck und Volumen weisen also einen umgekehrt proportionalen Zusammenhang auf, wenn die Temperatur konstant gehalten wird.

Merk’s dir!

Zustandsänderungen bei denen die Temperatur konstant gehalten wird, werden auch als isotherme Zustandsänderungen bezeichnet.

Formel: Gesetz von Boyle und Mariotte

Mathematisch lässt sich das ganze wie folgt ausdrücken:

$p \sim \frac{1}{V}$

In Worten: p ist umgekehrt proportional zu V

bzw.

$V \sim \frac{1}{p}$

In Worten: V ist umgekehrt proportional zu p

Wir können die beiden Größen auch auf eine Seite bringen:

$pV = 1 = const$

In Worten: Das Produkt aus Druck p und Volumen V ist konstant.

Wenn wir nun eine Zustandsänderung betrachten, so betrachten wir den Anfangszustand 1 und den Endzustand 2:

$p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2$ Gesetz von Boyle-Mariotte

Das Produkt aus Druck und Volumen im Zustand 1 ist gleich dem Produkt im Zustand 2. Somit ändern sich zwar die Größen in den beiden Zuständen, nicht aber ihr Produkt.

Video: Gesetz von Boyle-Mariotte

In dem folgenden Video zeige ich dir, wie du den Druck berechnest, wenn das Volumen sinkt und die Temperatur konstant bleibt:

Beispiel: Gesetz von Boyle-Mariotte

Gegeben sei ein Gas, welches sich in einem Kolben befindet. Das Gas nimmt ein Volumen von 5,4 Liter ein. Der Druck beträgt in diesem Zustand 2,8 bar. Jetzt wird der Kolben entlastet und das Gasvolumen dehnt sich auf 8,2 Liter aus (=Expansion). Das Gas kann näherungsweise als ideales Gas angenommen werden.

Wie groß ist der Druck nach der Expansion, wenn wir die Temperatur konstant halten?

Es handelt sich hierbei um das Gesetz von Boyle-Mariotte, da wir ein ideales Gas gegeben haben und die Temperatur konstant gehalten wird:

$p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2$

Wir haben die folgenden Größen gegeben:

$V_1 = 5,4 l$

$p_1 = 2,8 bar$

$V_2 = 8,2 l$

Gesucht wird der Druck p₂ nach der Expansion des Gases.

Wir können die obige Gleichung anwenden, indem wir diese nach der gesuchten Größe auflösen:

$p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2$ | $:V_2$

$\frac{p_1 \cdot V_1}{V_2} = p_2$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$p_2 = \frac{p_1 \cdot V_1}{V_2} = \frac{2,8 bar \cdot 5,4l}{8,2l} = 1,8439 bar$

Der Druck beträgt nach der Expansion des Gases 1,8439 bar. Das Volumen steigt an und damit sinkt der Druck. Das Verhältnis ist hier umgekehrt proportional:

Umstellen der Gleichung:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}$

Der Quotient aus Ausgangsdruck durch Enddruck entspricht dem Quotienten aus Endvolumen und Ausgangsvolumen.

Umgekehrt Proportional bedeutet, dass hier der Dreisatz angewendet werden kann. Auf beiden Seiten erfolgen dann aber genau die entgegengesetzten Rechenschritte (siehe auch Kurs MA2: antiproportionale Zuordnungen):

Nachdem du das Gesetz von Boyle-Mariotte kennengelernt hast, betrachten wir in der folgenden Lerneinheit das Gesetz von Amontons, bei welchem das Volumen konstant gehalten wird.

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