(Ph3-19) Waagerechter Wurf

In dieser Lerneinheit betrachten wir das Thema: Waagerechter Wurf. Das Thema Waagerechter Wurf ist wichtig für deine Prüfung und taucht immer wieder in der Physik auf.

“Ein waagerechter Wurf ist der Bewegungsvorgang eines Körpers, der horizontal geworfen wird und sich dann unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegt. Die Bahnkurve, die sich ergibt ist eine Wurfparabel mit dem Abwurfort als Scheitel.”

Für ein optimales Verständnis hilft dir ein ausführliches Beispiel zu dem Thema.

Waagerechter Wurf – Grundlagen

Waagerechter Wurf - Baseball — Waagerechter Wurf – Baseball

Nachdem wir uns die Bewegung in nur eine Koordinatenrichtung angeschaut haben, wollen wir uns als nächstes die Bewegung eines Körpers in der Ebene anschauen. Dies ist ein waagerechter Wurf.

Die Angaben über Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind nun von zwei Koordinaten abhängig. Führen wir das x,y-Koordinatensystem ein, so bewegt sich der Körper ab jetzt nicht mehr nur in x-Richtung, sondern ebenfalls in y-Richtung.

undefiniert

Beispiel: Ebene Bewegung

Eine ebene Bewegung kannst du dir vorstellen, wenn du von oben auf einen Billardtisch schaust. Um die Position einer Kugel angeben zu können, musst du sowohl die Schritte in x-Richtung als auch die Schritte in y-Richtung angegeben.

Weitere ebene Bewegungen sind der waagerechte und der senkrechte Wurf, welche für dich prüfungsrelevant sind. In dieser Lerneinheit betrachten wir den waagerechten Wurf und in der folgenden Lerneinheit den senkrechten Wurf.

Waagerechter Wurf – Diagramm

waagerechter wurf - Wurfparabel und Gleichungen — Waagerechter Wurf

Nachdem du die gleichförmige Bewegung (konstante Geschwindigkeit) und die gleichmäßig beschleunigte Bewegung (konstante Beschleunigung) kennengelernt hast, können wir uns den waagerechten Wurf anschauen. Hierbei handelt es sich um eine Bewegung in der Ebene. Die y-Achse stellt die Flughöhe dar, die x-Achse die Flugweite.

Merk's dir!

Beim waagerechten Wurf erfolgt eine gleichförmige Bewegung (konstante Geschwindigkeit) in x-Richtung und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (konstante Beschleunigung) infolge der Erdanziehung in y-Richtung.

Betrachten wir den waagerechten Wurf mal etwas genauer:

Die Bewegung in x-Richtung erfolgt durch den horizontalen Abwurf des Körpers (in x-Richtung), die Bewegung in y-Richtung erfolgt durch die Erdanziehung des Körpers senkrecht nach unten mit der Fallbeschleunigung $g = 9,81 m/s²$ (freier Fall). Die Flugbahn beim waagerechten Wurf ist eine Parabel.

Die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ (auch: Abwurfgeschwindigkeit) beim waagerechten Wurf ist gleich der Geschwindigkeit $v_x$ in x-Richtung, da angenommen wird, dass der Abwurf des Körpers (zum Beispiel eines Balls) waagerecht erfolgt, also in x-Richtung.

Für die Bewegung in x-Richtung verwenden wir demnach die Gleichungen der gleichförmigen Bewegung und für die Bewegung in y-Richtung die Gleichungen des freien Falls und müssen diese miteinander verknüpfen.

Waagerechter Wurf – Gleichungen

Als nächstes wollen wir uns die Gleichungen anschauen, die du für die Berechnungen benötigst, wenn ein waagerechter Wurf gegeben ist.

Waagerechter Wurf – Bewegungen

(1) $s_x = v_x \cdot t$ Bewegung in x-Richtung (gleichförmige Bewegung)

Wie weit der Ball in x-Richtung fliegt, zeigt die obige Gleichung in Abhängigkeit von der Zeit $t$ . Hierbei ist $v_x = v_0$ die waagerechte Abwurfgeschwindigkeit $v_0$ und damit gleichzeitig die Geschwindigkeit in x-Richtung $v_x$ . Da es sich hier um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung handelt, ist die Geschwindigkeit $v_x$ in x-Richtung konstant.

(2) $s_y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$ Bewegung in y-Richtung (freier Fall)

Betrachten wir nur die Bewegung in y-Richtung, so handelt es sich hier um den freien Fall mit der Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s². Wir wollen als nächstes die Bewegung in x-Richtung und die Bewegung in y-Richtung miteinander verknüpfen. Dazu betrachten wir beide Gleichungen:

(1) $s_x = v_x \cdot t$

(2) $s_y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$

Zunächst lösen wir die Gleichung (2) nach $t^2$ auf:

$t^2 = \frac{2 \cdot s_y}{g}$

Um $t$ alleine stehen zu haben, ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel und erhalten somit die Zeit in Abhängigkeit von der Bewegung in y-Richtung:

(3) $t = \sqrt{\frac{2 \cdot s_y}{g}}$

Waagerechter Wurf – Wurfweg, Wurfbahn und Wurfzeit

Als nächstes setzen wir (3) in die Gleichung (1) ein:

$\boxed{s_x = v_x \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot s_y}{g}}}$ Wurfweg

Und schon haben wir den Weg $s_x$ in x-Richtung vom Weg $s_y$ in y-Richtung abhängig gemacht. Diese Gleichung gibt den Weg des Körpers in x-Richtung an.

Lösen wir die Gleichung nach $s_y$ auf, so haben wir den Weg in y-Richtung in Abhängigkeit vom Weg in x-Richtung gegeben:

$\boxed{s_y = \frac{g}{2 \cdot v_x^2} \cdot s_x^2}$ Wurfbahn

Diese Gleichung gibt die Wurfbahn des Körpers an und ist eine Parabel.

Für die Bestimmung der Zeit verwenden wir die Fallzeit, da die Zeit, die der Körper fällt, mit der Wurfzeit übereinstimmen muss:

$\boxed{t_F = \sqrt{\frac{2 \cdot s_{max}}{g}}}$ Wurfzeit

Waagerechter Wurf – Geschwindigkeiten

Die Geschwindigkeit $v_x$ in x-Richtung ist beim waagerechten Wurf konstant und gleich der Anfangsgeschwindigkeit, da der Wurf in x-Richtung durchgeführt wird

$\boxed{v_x = v_0}$ Geschwindigkeit in x-Richtung

Die Geschwindigkeit $v_y$ in y-Richtung nimmt aufgrund der Fallbeschleunigung linear zu:

$\boxed{v_y = g \cdot t}$

Die momentane Geschwindigkeit in Flugrichtung wird mit Hilfe des Satz des Pythagoras aus den Geschwindigkeitskomponenten bestimmt.

$\boxed{v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}}$

Wir fassen die für die relevanten Gleichungen beim waagerechten Wurf in der folgenden Tabelle zusammen, damit du die Gleichungen immer im Blick hast:

$s_x = v_x \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot s_y}{g}}$	Wurfweg
$s_y = \frac{g}{2 \cdot v_x^2} \cdot s_x^2$	Wurfbahn / Wurfparabel
$t_F = \sqrt{\frac{2 \cdot s_{max}}{g}}$	Zeit
$v_0 = v_x = const.$	Geschwindigkeit in x-Richtung
$v_y = g \cdot t$	Geschwindigkeit in y-Richtung
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$	resultierende Geschwindigkeit

Mithilfe der obigen Gleichungen können wir nun beginnen, die nachfolgende Aufgabe zu lösen.

Waagerechter Wurf – Beispiele

Aufgabenstellung

Eine Kugel mit der Masse von $m = 2 kg$ wird in waagerechte Richtung mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $v_0 = 4 m/s$ geworfen. Die Abwurfhöhe beträgt 15m.

a) Wie weit fliegt die Kugel und wie lange dauert der Flug?

b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf den Boden auf?

Lösung

Flugweite und Flugdauer

Da wir hier einen waagerechten Wurf betrachten, der Körper also in x-Richtung abgeworfen wird, ist die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ gleich der Geschwindigkeit in x-Richtung:

$v_x = 4 m/s$

Die Masse des Körpers ist hier nicht relevant (siehe Freier Fall). Die Kugel wird aus einer Höhe von $h_0 = 15m$ abgeworfen. Der gesamte Weg in y-Richtung beträgt somit 15m.

Die Flugweite ist nichts anderes als der Wurfweg:

$s_x = v_x \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot s_y}{g}}$ Wurfweg

Zur Berechnung der gesamtem Flugweite bzw. des gesamten Wurfwegs $s_{x,max}$ ( = gesamter zurückgelegter Weg) benötigen wir den gesamten zurückgelegten Weg in y-Richtung. Der gesamte Weg in y-Richtung ist nichts anderes als die Höhe $h_0$ , aus welcher die Kugel fallen gelassen wird:

$s_{x,max} = v_x \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h_0}{g}}$ gesamter Wurfweg / Flugweite

Als nächstes setzen wir alle Werte in die obige Gleichung ein:

$s_{x,max} = 4 m/s \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 15m}{9,81 m/s^2}} = 7 m$

Die Kugel weist eine Flugweite von 7m auf.

Flugzeit

Wir wollen noch wissen, wie lange die Kugel fliegt, bis diese auf dem Boden landet. Dazu können wir eine der folgenden Gleichungen heranziehen:

$t_F = \sqrt{\frac{2 \cdot s_{max}}{g}}$ Flugzeit / Wurfzeit

Einsetzen der gegebenen Werte in die obige Gleichung führt zu:

$t_F = \sqrt{\frac{2 \cdot 7m}{9,81 m/s^2}} = 1,2s$

Die Kugel fliegt insgesamt 1,2s bis diese auf den Boden auftrifft.

Aufprallgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit setzt sich beim waagerechten Wurf aus der konstanten Geschwindigkeit $v_x$ in x-Richtung und der zunehmenden Geschwindigkeit $v_y$ (infolge der Erdanziehung) in y-Richtung zusammen. Die Abwurfgeschwindigkeit (bzw. Anfangsgeschwindigkeit) $v_0$ ist gleich der Geschwindigkeit in x-Richtung. Diese Geschwindigkeit ist konstant, also auch unmittelbar beim Aufprall in x-Richtung gegeben:

$v_x = 4 m/s$

Die Geschwindigkeit in y-Richtung nimmt linear zu, infolge der Fallbeschleunigung und ist damit abhängig von der Zeit $t$ , welche die Kugel fällt:

$v_y = g \cdot t$

Da wir die Aufprallgeschwindigkeit suchen, also die Geschwindigkeit kurz vor dem Aufprall der Kugel auf den Boden, müssen wir für die Zeit $t$ die gesamte Fallzeit $t_F = 1,2s$ einsetzen:

$v_y = 9,81 m/s^2 \cdot 1,2s = 11,78 m/s$

Wir haben nun die beiden Geschwindigkeiten gegeben und können somit die Aufprallgeschwindigkeit mittels Satz des Pythagoras wie folgt berechnen:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(4 m/s)^2 + (11,78 m/s)^2} = 12,44 m/s$

Die Kugel schlägt mit einer Geschwindigkeit von 12,44 m/s auf dem Boden auf.

wie gehts weiter?

Nachdem du jetzt das Thema Waagerechter Wurf kennengelernt hast, folgt in der folgenden Lerneinheit die Betrachtung des schrägen Wurfs.

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