PH2 – Prüfungsaufgabe 2: Lagerkräfte bestimmen

In dieser zweiten Prüfungsaufgabe wollen wir die Lagerkräfte bestimmen. Wir zeigen dir Schritt-für-Schritt, wie du Vorgehen musst.

Schau dir die Aufgabenstellung genau an und löse die Aufgabe. Wende dabei die folgenden drei Schritte an:

Vorgehensweise: Lagerkräfte bestimmen

Freischnitt
Kräftezerlegung durchführen
Gleichgewichtsbedingungen aufstellen

Diese und die nachfolgenden Aufgaben sind klausurrelevant bzw. sind bereits Teil der staatlichen Physikprüfung für Techniker gewesen.

Beispiel 2: Lagerkräfte bestimmen

Prüfungsaufgabe 2: Lagerkräfte bestimmen

Beispiel Lagerkräfte berechnen — Beispiel 2: Lagerkräfte bestimmen

Ein Balkenträger mit zwei Auflagepunkten (A und B) wird mit einer Masse von m = 50 kg und einer Zugkraft F₁ = 200 N belastet (siehe Skizze). Die Gewichtskraft des Trägers wird vernachlässigt. (Hinweis: g = 9,81 m/s²)

Berechne die Lagerkräfte!

Schritt 1: Freischnitt

Bevor wir Lagerkräfte bestimmen können, müssen wir den Balken zum Einen von seinen Auflagern freischneiden und zum anderen das Gewicht mit der Masse $m$ durch die Gewichtskraft ersetzen. Es gilt:

$\boxed{F_G = m \cdot g}$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$F_G = 50 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 490,5 N$

Die Gewichtskraft liegt immer im Schwerpunkt des betrachteten Körpers und zeigt immer vertikal nach unten. In diesem Fall ist de Körper ein Quadrat/Rechteck. Der Schwerpunkt liegt in der Mitte, demnach greift die Gewichtskraft genau in der Mitte an und zeigt vertikal nach unten:

Beispiel 2: Freischnitt — Lagerkräfte bestimmen: Freischnitt

Schritt 2: Kräftezerlegung

Es ist keine Kraft mit Winkel gegeben.

Schritt 3: Gleichgewichtsbedingungen

Wir wollen als nächstes mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene die Lagerkräfte bestimmen:

I. $\sum F_x = 0$ Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung

II. $\sum F_y = 0$ Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung

III. $\sum M^{X} = 0$ Momentengleichgewichtsbedingung

Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung

Wir stellen zunächst die Gleichgewichtsbedingung in x-Richtung auf und berücksichtigen alle horizontalen Kräfte. Alle nach rechts gerichteten Kräfte gehen positiv, alle nach links gerichteten Kräfte negativ in die Gleichgewichtsbedingungen ein.

I. $\sum F_x = 0$ :

Es existieren keine horizontalen Kräfte.

Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung

Als nächstes betrachten wir die Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung und berücksichtigen alle vertikalen Kräfte. Alle nach oben gerichteten Kräfte gehen positiv, alle nach unten gerichteten Kräfte negativ in die Gleichgewichtsbedingungen ein.

II. $\sum F_y = 0$ :

II. $A + B - F_G + F_1 = 0$

Bereits aus der Aufgabenstellung gegeben sind $F_G$ und $F_1$ . Unbekannt sind die beiden Auflagerkräfte $A$ und $B$ . Wir benötigen die Momentengleichgewichtsbedingung, zur Berechnung einer der Kräfte.

Momentengleichgewichtsbedingung aufstellen

Wir legen den Bezugspunkt dorthin, wo eine unbekannte Kraft gegeben ist. Also entweder in $A$ oder in $B$ (beide sind noch unbekannt). Wir wählen beliebig das Lager $A$ .

Wir müssen nun alle Momenten auf diesen Bezugspunkt berechnen. Solltest du dir unsicher sein wie das genau funktioniert, schau dir nochmal das folgende Video an.

Lernclip

Drehmoment und Drehsinn

Lagerkräfte berechnen — Lagerkräfte bestimmen: Bezugspunkt

III. $\sum M^A = 0$ :

$F_G \cdot 1m + F_1 \cdot 2m + B \cdot 3m = 0$

Alle Momente sind positiv, denn sie drehen den Balken in einer Linksdrehung (gegen den Uhrzeigersinn) um den gewählten Bezugspunkt. Wir lösen die Gleichung nach $B$ auf:

$B \cdot 3m = - F_G \cdot 1m - F_1 \cdot 2m$

$B = \frac{-F_G \cdot 1m - F_1 \cdot 2m}{3m}$

Werte einsetzen:

$B = \frac{-490,5 N \cdot 1m - 200 N \cdot 2m}{3m} = -296,83 N$

Die Lagerkraft ist negativ. Was bedeutet das?

Die Lagerkraft B zeigt nicht – wie angenommen – nach oben, sondern genau entgegengesetzt (um 180°) gedreht nach unten, in negative y-Richtung.

Merk's dir!

Beim Freischneiden müsst ihr nur wissen, auf welcher Wirkungslinie die Lagerkräfte liegen (z.B. auf einer Vertikalen). In welche Richtung diese zeigen (z.B. nach oben oder unten) ist zunächst nicht relevant. Ihr könnt euch also für eine Möglichkeit entscheiden. Das Ergebnis zeigt euch dann an, ob die gewählte Richtung stimmt (positive Kraft) oder die Kraft genau in entgegengesetzte Richtung zeigt (negative Kraft).

In diesem Beispiel ist die Lagerkraft B eine Kraft die vertikal gerichtet ist. Ob diese nun aber nach oben oder nach unten wirkt, das ist nicht immer sofort erkennbar. Demnach wählst du eine Richtung (nach oben oder nach unten) beliebig aus. Das Ergebnis hier zeigt dir, dass die gewählte Richtung nicht stimmt. Die Lagerkraft B wirkt tatsächlich nach unten und nicht nach oben.

Als nächstes berechnen wir aus der Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung die Lagerkraft A.

Aus II. )

II. $A + B - F_G - F_1 = 0$

Einsetzen aller bekannten Kräfte:

$A + (-296,33 N) - 490,5 N + 200 N = 0$

Auflösen nach $A$ :

$A = 296,33 N + 490,5 N - 200 N = 586,83 N$

Damit sich der Balken im Gleichgewicht befindet, sich also infolge der Kraft $F_1$ und der Gewichtskraft $F_G$ nicht in y-Richtung bewegt bzw. in der x,y-Ebene rotiert, muss das Lager B eine Lagerkraft von $B = 296,83 N$ aufnehmen und ist nach unten gerichtet. Das Lager muss eine Lagerkraft von $A = 586,83 N$ aufbringen und ist nach oben gerichtet.

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der nachfolgenden Lerneinheit schauen wir uns eine weitere klausurrelevante Aufgabe an, in welcher wir Lagerkräfte bestimmen und zusätzlich eine Kräftezerlegung durchführen.

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