PH1 – Sinussatz

Der Sinussatz stellt eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her. Ziel ist es also zum Beispiel, aus zwei gegebenen Seiten und einem Winkel, einen Winkel zu berechnen oder aus zwei gegebenen Winkeln und einer Seite eine weitere Seite zu bestimmen.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und zwei Beispiele zu dem Thema. Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH1 – Grundlagen der Physik.

Sinussatz – Grundlagen

Der Sinussatz wird angewendet,

zur Berechnung eines Winkels aus zwei gegebenen Seiten und einem gegebenen Winkel.
zur Berechnung einer Seite aus zwei gegebenen Winkeln und einer gegebenen Seite.

Der Sinussatz stellt eine Beziehung zwischen den Seiten eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Winkeln her:

$\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}$ Sinussatz

Für die Anwendung des Sinussatzes benötigst du zwei der drei obigen drei Brüche, je nachdem welche Größen gegeben sind. Danach löst du nach der gesuchten Größe auf. Schauen wir uns dazu mal die folgenden zwei Beispiele an. Am Ende des Textes findest du zusätzlich ein Video, in welchem ich dir den Sinussatz nochmals ausführlich erkläre.

Seite berechnen

Sind eine Seite sowie zwei Winkel gegeben, so kannst du die restlichen Seiten im Dreieck berechnen.

Betrachten wir hierzu ein Beispiel:

Beispiel!

Gegeben seien die Seite a = 5 cm sowie die Winkel α = 50° und β = 80°.

Berechne die Seite b und die Seite c!

Wir können zunächst den Winkel γ berechnen. Die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt 180°.

$\gamma = 180^\circ - 50^\circ - 80^\circ = 50^\circ$

Der Winkel $\gamma$ beträgt demnach 50°.

Berechnung der Seite b

Danach können wir den Sinussatz anwenden, um die Seite b zu berechnen. Wir benötigen also schon mal den Bruch, in welchem sich die gesuchte Seite befindet:

$\dfrac{b}{\sin(\beta)}$

Außerdem benötigen wir den Bruch, für welchen Seite und Winkel bekannt sind:

$\dfrac{a}{\sin(\alpha)}$

Beide Brüche müssen laut Sinussatz gleich sein:

$\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)}$

Wir haben die Seite a gegeben und den gegenüberliegenden Winkel α. Da wir die Seite b berechnen wollen benötigen wir außerdem den gegenüberliegenden Winkel β.

Die Gleichung lösen wir nach der gesuchten Seite b auf:

$\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)}$ | $\cdot \sin(\beta)$

$b = \dfrac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\beta)$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$b = \dfrac{5 cm}{\sin(50^{\circ})} \cdot \sin(80^\circ) = 6,43 cm$

Berechnung der Seite c

Zur Berechnung der Seite c benötigen wir nun den Bruch, in welchem auch Seite c vorkommt:

$\dfrac{c}{\sin(\gamma)}$

Außerdem einen weiteren Bruch, in welchem alle Werte gegeben sind:

$\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}$

oder

$\dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}$

Wir können eine der beiden obigen Gleichungen verwenden, um die Seite c zu berechnen, da sowohl Seite a und der Winkel $\alpha$ , als auch Seite b und der Winkel $\beta$ gegeben sind. Wir wählen beliebig die untere Gleichung und lösen diese nach der gesuchten Seite c auf:

$\dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}$ | $\cdot \sin(\gamma)$

$c = \dfrac{b}{\sin(\beta)} \cdot \sin(\gamma)$

Einsetzen der Werte:

$c = \dfrac{6,43 cm}{\sin(80^\circ)} \cdot \sin(50^\circ) = 5 cm$

Die Seite c hat eine Länge von 5cm.

Winkel berechnen

Es ist natürlich ebenfalls möglich die Winkel zu berechnen, wenn mindestens zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind.

Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel an.

Beispiel!

Gegeben seien die Seiten a = 6 cm und b = 4 cm sowie der Winkel α = 60°.

Berechne den Winkel β!

Wir wählen den folgenden Satz:

$\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)}$

Wir lösen die Gleichung nach dem gesuchten Winkel β auf. Dazu wenden wir zunächst auf beiden Seiten den Kehrwert an:

$\dfrac{\sin(\alpha)}{a} = \dfrac{\sin(\beta)}{b}$

Danach lösen wir die Gleichung nach sin(β) auf:

$\dfrac{\sin(\alpha)}{a} = \dfrac{\sin(\beta)}{b}$ | $\cdot b$

$\sin(\beta) = \dfrac{\sin(\alpha)}{a} \cdot b$

Zum Schluss wenden wir den Arcussinus ( $\sin^{-1}$ ) auf beiden Seiten an:

$\beta = \sin^{-1} (\dfrac{\sin(\alpha)}{a} \cdot b)$

Einsetzen der gegebenen Werte:

$\beta = \sin^{-1} (\dfrac{\sin(60^\circ)}{6 cm} \cdot 4 cm) = 35,26^\circ$

Der Winkel $\beta$ beträgt 35,26°.

Videoclip: Sinussatz anwenden

Im folgenden Video zeige ich dir, wie der Satz funktioniert.

Beispiele: Sinussatz

Schau dir die folgenden beiden Aufgaben an und versuche diese zunächst selbstständig zu lösen, bevor du dir die Lösungen anschaust.

Beispiel 1 : Sinussatz

Aufgabenstellung

Gegeben sei das allgemeine Dreieck und die Seiten a = 6cm und b = 2cm sowie der Winkel $\alpha = 35^\circ$ .

Berechne den Winkel β!

Lösung

Wir berechnen den Winkel β mittels Sinussatz. Wir benötigen dafür die gegenüberliegende Seite mit b = 2cm. Außerdem sind die Seite a = 6 cm und ihr gegenüberliegender Winkel α = 35° gegeben:

$\dfrac{b}{\sin{\beta}} = \dfrac{a}{\sin{\alpha}}$

$\dfrac{2 cm}{\sin{\beta}} = \dfrac{6 cm}{\sin{35^\circ}}$

Wir wollen zunächst sin(β) alleine stehen haben. Dazu bilden wir auf beiden Seiten den Kehrwert der Brüche, damit der Winkel im Zähler steht:

$\dfrac{\sin{\beta}}{2 cm} = \dfrac{\sin{35^\circ}}{6 cm}$

Danach multiplizieren wir die Gleichung mit 2cm, damit sin(β) alleine steht:

$\sin{\beta} = \dfrac{\sin{35^\circ}}{6cm} \cdot 2cm$

Zum Schluss verwenden wir die Umkehrfunktion des Sinus, den Arkussinus ( $\sin^{-1})$ , so dass der Winkel β alleine steht:

$\beta = \sin^{-1}(\dfrac{\sin{35^\circ}}{6 cm} \cdot 2 cm)$

Es ergibt sich:

$\beta = 11,02^\circ$

Der Winkel β ist 11,02° groß.

Beispiel 2: Sinussatz und Kosinussatz

Aufgabenstellung

Gegeben sei das obige allgemeine Dreieck mit den Winkeln $\alpha = 35^\circ$ und $\gamma = 60^\circ$ sowie der Seite b = 5cm.

Berechne die Seite a!

Lösung

Wir haben eine Seite und zwei Winkel gegeben. Wir können hier den Sinussatz anwenden, um die Seite a zu berechnen. Der gegenüberliegende Winkel der Seite a ist α = 35°. Außerdem haben wir die Seite b = 5 cm den Winkel $\gamma = 60^\circ$ gegeben. Wir haben eine Seite b, aber nicht den gegenüberliegenden Winkel $\beta$ gegeben, den wir für die Berechnungen aber benötigen.

Da wir aber wissen, dass ein Dreieck eine Winkelsumme von 180° hat, können wir aus zwei gegebenen Winkel zunächst den dritten Winkel berechnen:

$\beta = 180^\circ - 35^\circ - 60^\circ = 85^\circ$

Wir können nun den folgenden Sinussatz anwenden, um die Seite a zu berechnen:

$\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)}$

$\dfrac{a}{\sin(35^\circ)} = \dfrac{5 cm}{\sin(85^\circ)}$

Wir suchen die Seite a. Dazu multiplizieren die Gleichung mit sin(35°), damit die Seite a alleine steht:

$a= \dfrac{5 cm}{\sin(85^\circ)} \cdot \sin(35^\circ)$

$a = 2,88 cm$

Die Seite a hat eine Länge von 2,88 cm.

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