(Ph1-10) Sinussatz

Inhaltsverzeichnis

 

In dieser Lerneinheit behandeln wir den Sinussatz und erklären dir dabei wie du damit eine Seite und einen Winkel in einem Dreieck berechnest.

 

<em>Merk's dir!</em>

In der ebenen Trigonometrie stellt der Sinussatz eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her.”

 


Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und zwei Beispiele zu dem Thema.


 


Sinussatz – Grundlagen


In dieser Lerneinheit betrachten wir den Sinussatz.

Sinussatz

 

Der Sinussatz wird angewendet,

  • zur Berechnung eines Winkels aus zwei gegebenen Seiten und einem gegebenen Winkel.
  • zur Berechnung einer Seite aus zwei gegebenen Winkeln und einer gegebenen Seite.
Sinussatz
Sinussatz

 

Der Sinussatz stellt eine Beziehung zwischen den Seiten eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Winkeln her:

 

 \boxed{\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}}          Sinussatz

 

Für die Anwendung des Sinussatzes benötigst du zwei der drei obigen Brüche, je nachdem welche Größen gegeben sind. Danach löst du nach der gesuchten Größe auf. Schauen wir uns dazu mal die folgenden zwei Beispiele an. Am Ende des Textes findest du zusätzlich ein Video, in welchem ich dir den Sinussatz nochmals ausführlich erkläre.

 


Seite berechnen


Sind eine Seite sowie zwei Winkel gegeben, so kannst du die restlichen Seiten im Dreieck berechnen.

Betrachten wir hierzu ein Beispiel:

 

undefiniert
Beispiel: Sinussatz

Beispiel 1: Sinussatz

 

Gegeben seien die Seite mit a = 5 cm sowie die Winkel α = 50° und β = 80°. Berechne die Seite b und die Seite c!

 

Wir können zunächst den Winkel γ berechnen. Die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt 180°.

 

\gamma = 180^\circ - 50^\circ - 80^\circ = 50^\circ

 


Berechnung der Seite b


Danach können wir den Sinussatz anwenden, um die Seite b zu berechnen. Wir benötigen also schon mal den Bruch, in welchem sich die gesuchte Seite befindet:

 

  \dfrac{b}{\sin(\beta)}

 

Außerdem benötigen wir den Bruch, für welchen Seite und Winkel bekannt sind:

 

\dfrac{a}{\sin(\alpha)}

 

Beide Brüche müssen laut Sinussatz gleich sein:

 

\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)}

 

Wir haben die Seite a gegeben und den gegenüberliegenden Winkel α. Da wir die Seite b berechnen wollen benötigen wir außerdem den gegenüberliegenden Winkel β.

 

Die Gleichung lösen wir nach der gesuchten Seite b auf:

 

\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)}          |\cdot \sin(\beta)

 

 \boxed{b = \dfrac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\beta)}

 

Einsetzen der gegebenen Werte:

 

b = \dfrac{5 cm}{\sin(50^{\circ})} \cdot \sin(80^\circ) = 6,43 cm

 


Berechnung der Seite c


Zur Berechnung der Seite c benötigen wir nun den Bruch, in welchem auch Seite c vorkommt:

 

\dfrac{c}{\sin(\gamma)}

 

Außerdem einen weiteren Bruch, in welchem alle Werte gegeben sind:

 

\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}

 

oder

 

\dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}

 

Wir können eine der beiden obigen Gleichungen verwenden, um die Seite c zu berechnen. Wir wählen beliebig die untere Gleichung und lösen diese nach der Seite c auf:

 

 \boxed{c = \dfrac{b}{\sin(\beta)} \cdot \sin(\gamma)}

 

Einsetzen der Werte:

 

c = \dfrac{6,43 cm}{\sin(80^\circ)} \cdot \sin(50^\circ) = 5 cm

 

Die Seite c hat eine Länge von 5cm.

 


Winkel berechnen


Es ist natürlich ebenfalls möglich die Winkel zu berechnen, wenn mindestens zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind.

Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel an.

 

undefiniert
Beispiel: Sinussatz

Beispiel 2: Sinussatz

 

Gegeben seien die Seiten a = 6 cm und b = 4 cm sowie der Winkel α = 60°. Berechne den Winkel β!

 

Wir wählen den folgenden Satz:

 

\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)}

 

Wir lösen die Gleichung nach dem gesuchten Winkel β auf. Dazu wenden wir zunächst auf beiden Seiten den Kehrwert an:

 

\dfrac{\sin(\alpha)}{a} = \dfrac{\sin(\beta)}{b}

 

Danach lösen wir die Gleichung nach sin(β) auf:

 

\sin(\beta) = \dfrac{\sin(\alpha)}{a} \cdot b

 

Zum Schluss wenden wir den Arcussinus (\sin^{-1}) auf beiden Seiten an:

 

\beta = \sin^{-1} (\dfrac{\sin(\alpha)}{a} \cdot b)

 

Einsetzen der gegebenen Werte:

 

\beta = \sin^{-1} (\dfrac{\sin(60^\circ)}{6 cm} \cdot 4 cm) = 35,26^\circ

 

Der Winkel \beta beträgt 35,26°.

 


++ Videoclip – Sinussatz anwenden ++


Im folgenden Video zeige ich dir, wie der Satz funktioniert.


Sinussatz: Anwendung 

 


Beispiele: Sinussatz


Schau dir die folgenden beiden Aufgaben an und versuche diese zunächst selbstständig zu lösen, bevor du dir die Lösungen anschaust.

 


Beispiel 1 : Sinussatz


Aufgabenstellung

Aufgaben zum Sinussatz 1

 

 

Gegeben sei das allgemeine Dreieck und die Seiten  a = 6cm und b = 2cm sowie der Winkel \alpha = 35^\circ.

Berechne den Winkel β!

 

Lösung

Wir berechnen den Winkel β mittels Sinussatz. Wir benötigen dafür die gegenüberliegende Seite mit b = 2cm. Außerdem sind die Seite a = 6 cm und ihr gegenüberliegender Winkel α = 35° gegeben:

 

\dfrac{b}{\sin{\beta}} = \dfrac{a}{\sin{\alpha}}

 

\dfrac{2 cm}{\sin{\beta}} = \dfrac{6 cm}{\sin{35^\circ}}

 

Wir wollen zunächst sin(β) alleine stehen haben. Dazu bilden wir auf beiden Seiten den Kehrwert der Brüche, damit der Winkel im Zähler steht:

 

\dfrac{\sin{\beta}}{2 cm} = \dfrac{\sin{35^\circ}}{6 cm}

 

Danach multiplizieren wir die Gleichung mit 2cm, damit sin(β) alleine steht:

 

\sin{\beta} = \dfrac{\sin{35^\circ}}{6cm} \cdot 2cm

 

Zum Schluss verwenden wir die Umkehrfunktion des Sinus, den Arkussinus (\sin^{-1}), so dass der Winkel β alleine steht:

 

\beta = \sin^{-1}(\dfrac{\sin{35^\circ}}{6 cm} \cdot 2 cm)

 

Es ergibt sich:

 

\beta = 11,02^\circ

 

Der Winkel β ist 11,02° groß.

 


Beispiel 2: Sinussatz und Kosinussatz


Aufgabenstellung

Aufgaben zum Sinussatz 2

 

 

Gegeben sei das obige allgemeine Dreieck mit den Winkeln \alpha = 35^\circ und \gamma = 60^\circ sowie der Seite b = 5cm.

Berechne die Seite a!

 

 

Lösung

Wir haben eine Seite und zwei Winkel gegeben. Wir können hier den Sinussatz anwenden, um die Seite a zu berechnen. Der gegenüberliegende Winkel der Seite a ist α = 35°. Außerdem haben wir die Seite b = 5 cm und den gegenüberliegenden Winkel β = 15° gegeben.

 

\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)}

 

\dfrac{a}{\sin(35^\circ)} = \dfrac{5 cm}{\sin(15^\circ)}

 

Wir suchen die Seite a. Dazu multiplizieren die Gleichung mit sin(35°), damit die Seite a alleine steht:

 

a= \dfrac{5 cm}{\sin(15^\circ)} \cdot \sin(35^\circ)

 

a = 11,08 cm

 

Die Seite a hat eine Länge von 11,08 cm.

 

 

wie gehts weiter?
In der folgenden Lerneinheit betrachten wir Aufgaben, in denen du sowohl den Sinussatz als auch den Kosinussatz benötigst, um diese zu lösen.

 

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