(Ph1-09) Aufgaben zum Kosinussatz

Inhaltsverzeichnis

Schauen wir uns in dieser Übungseinheit mal einige Aufgaben zum Kosinussatz an.

 

Wichtig für den Lernfortschritt

 

Der Kosinussatz wird verwendet, um eine Seite oder einen Winkel in einem allgemeinen Dreieck zu berechnen. Du solltest unbedingt wissen, wie du den Kosinussatz anwendest, weshalb dieser Inhalt wichtig für deinen Lernfortschritt ist.

Versuche zunächst die Aufgaben zum Kosinussatz selbstständig zu lösen, bevor du dir die Lösung anschaust. Du benötigst für die Aufgaben die folgenden Gleichungen:


Berechnung einer Seite


 \boxed{c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)}}

 \boxed{a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)}}

 \boxed{b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos(\beta)}}

 


Berechnung eines Winkels


 \boxed{\gamma = \cos^{-1}(\dfrac{a^2 + b^2 - c^2 }{2 \cdot a \cdot b})}

 \boxed{\alpha = \cos^{-1}(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2 }{2 \cdot b \cdot c})}

 \boxed{\beta = cos^{-1}(\dfrac{a^2 + c^2 - b^2 }{2 \cdot a \cdot c})}

 


Aufgaben zum Kosinussatz


Damit du eine Seite oder einen Winkel in einem allgemeinen Dreieck auf Anhieb berechnen kannst, betrachten wir im Folgenden vier Aufgaben zum Kosinussatz. Die oben angegebenen Gleichungen benötigst du, um die Aufgaben zum Kosinussatz zu lösen. Versuche zunächst die Aufgaben selbstständig zu lösen, bevor du die Lösungen hinzuziehst.


Beispiel 1 : Seite berechnen


Aufgabenstellung
Aufgaben zum Kosinussatz
Beispiel 1: Kosinussatz

 

Gegeben sei das obige allgemeine Dreieck mit den Seiten a, b und c sowie den Winkeln α, β und γ.

Gegeben seien:

 

a = 6cm, b = 4,5 cm, γ = 60° und β = 40°.

 

Berechne die Seite c!

 

Lösung

Zur Berechnung der Seite c werden die Seiten a und b benötigt sowie der gegenüberliegende Winkel γ der gesuchten Seite c:

 

c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)}

 

Danach setzen wir die gegebenen Werte ein:

 

c = \sqrt{(6cm)^2 + (4,5cm)^2 - 2 \cdot 6 cm \cdot 4,5 cm \cdot \cos(60^\circ)} = 5,41 cm

 

Die Angabe des Winkels β in der Aufgabenstellung erfolgte nur, um zu testen, ob du auch den richtigen Winkel auswählst.

 


Beispiel 2 : Winkel berechnen


Aufgabenstellung
Winkel in einem allgemeinen Dreieck berechnen - Aufgaben zum Kosinussatz
Aufgaben zum Kosinussatz

 

Gegeben sei das allgemeine Dreieck mit den Seiten a, b und c sowie den Winkeln α, β und γ.

Gegeben seien:

 

a = 5cm, b = 6,5 cm und c = 7 cm.

 

Berechne den Winkel β!

 

Lösung

Zur Berechnung des Winkels β  werden alle drei Seiten benötigt. Es wird die folgende Gleichung verwendet:

 

\beta = \cos^{-1} (\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c})

 

Im Zähler addierst du zunächst die beiden quadrierten Seiten, die den Winkel beta einschließen. Danach ziehst du die quadrierte gegenüberliegende Seite vom Winkel \beta ab. Im Nenner tauchen nur die beiden Seite auf, die den gesuchten Winkel einschließen.

Danach setzt du die gegebenen Werte ein:

 

\beta = \cos^{-1} (\dfrac{(5 cm)^2 + (7 cm)^2 - (6,5 cm)^2}{2 \cdot 5 cm \cdot 7 cm}) = 63,03 ^\circ \approx 63 ^\circ

 

Der Winkel \beta beträgt 63°.

 


Beispiel 3 : Seite berechnen


Aufgabenstellung
Seite in einem allgemeinen Dreieck berechnen
Aufgaben zum Kosinussatz

 

Gegeben sei das obige Dreieck mit den Seiten a, b und c sowie den Winkeln α, β und γ.

Gegeben seien:

 

b = 2,5 cm, c = 3 cm sowie α = 40° und γ= 70°.

 

Berechne die Seite a!

 

Lösung

Zur Berechnung der Seite a werden die Seiten b und c benötigt sowie der gegenüberliegende Winkel α der gesuchten Seite a:

 

a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)}

 

Als nächstes setzt du die gegebenen Werte ein:

 

a = \sqrt{((3,5 cm)^2 + (2 cm)^2 - 2 \cdot 3,5cm \cdot 2 cm \cdot \cos(40^\circ)} = 2,35 cm

 

Die Seite a ist 2,35 cm lang.

 


Beispiel 4 : Seite berechnen


Aufgabenstellung
Aufgabe 4: Parallelogramm und Kosinussatz
Aufgaben zum Kosinussatz: Parallelogramm und Kosinussatz
Beispiel 4: Kosinussatz

 

Gegeben sei das obige Parallelogramm. Gegeben seien die Seite a = 12cm und d = 4 cm. Der Winkel \alpha beträgt 55°.

Berechne die Länge der Diagonalen DB!

Lösung

Wir können hier den Kosinussatz anwenden um die Länge der Diagonalen zu bestimmen. Die Diagonale teilt das Parallelogramm in zwei gleich große allgemeine Dreiecke. Wie haben die beiden Seiten a und d sowie den eingeschlossenen Winkel \alpha gegeben.

Die Diagonale liegt also genau gegenüber von unserem gesuchten Winkel. Wir bezeichnen diese als \overline{DB} und wenden den folgenden Kosinussatz an:

 

\overline{DB} = \sqrt{a^2 + d^2 - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos(\alpha)

 

Einsetzen der gegebenen Werte:

 

\overline{DB} = \sqrt{(12 cm)^2^2 + (4 cm^2)^2 - 2 \cdot 12 cm \cdot 4 cm \cdot \cos(55^\circ)

 

\overline{DB} = 10,24 cm.

 

Die Diagonale hat eine Länge von 10,24 cm.

 

wie gehts weiter
Wie geht's weiter?
Nachdem wir jetzt ein paar Aufgaben zum Kosinussatz behandelt haben, schauen wir uns in der folgenden Lerneinheit den Sinussatz an, der für allgemeine Dreiecke gilt.

 

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