PH1 – Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken

Der Sinus eines Winkels ist gleich Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse. Willst du einen Winkel mittels Sinus berechnen, so muss die Gegenkathete zum betrachteten Winkel und die Hypotenuse gegeben sein. Es ist ebenfalls möglich eine Seite mittels Sinus zu berechnen, wenn Winkel und Hypotenuse oder Gegenkathete gegeben sind.

Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und drei ausführlich gelöste Beispiele zum Thema Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken. Dieser Lerntext ist ein Auszug aus unserem Onlinekurs PH1 – Grundlagen der Physik.

Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken – Grundlagen

Sinus Vorschaubild - Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken — Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken

Der Sinus eines spitzen Winkels wird berechnet, indem der Quotient aus der Länge der Gegenkathete und der Hypotenuse gebildet wird:

$\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ Sinus im rechtwinkligen Dreieck

Sind in einem rechtwinkligen Dreieck zwei der drei obigen Größen gegeben, so kannst du die dritte Größe mit dem Sinus berechnen.

Schauen wir uns zunächst einmal an, wie die obige Gleichung nach der Gegenkathete, Hypotenuse und nach dem Winkel $\alpha$ aufgelöst wird.

Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken – Gegenkathete

Ist in der Aufgabe die Hypotenuse und der Winkel $\alpha$ gegeben und du sollst die Gegenkathete berechnen, also die Seite gegenüber vom Winkel $\alpha$ , dann musst du die obige Gleichung nach der Gegenkathete auflösen:

$\text{Gegenkathete} = \text{Hypotenuse} \cdot \sin(\alpha)$ Gegenkathete

Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken – Hypotenuse

Ist in der Aufgabe die Gegenkathete und der Winkel $\alpha$ gegeben und du sollst die Hypotenuse berechnen, also die Seite gegenüber vom rechten Winkel, dann musst du die obige Gleichung nach der Hypotenuse auflösen:

$\text{Hypotenuse} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{ \sin(\alpha) }$ Hypotenuse

Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken – Winkel

Wenn du den Winkel berechnen sollst und es ist die Gegenkathete und die Hypotenuse gegeben, dann musst du die obige Gleichung nach dem Winkel $\alpha$ auflösen. Dazu benötigst du den Arkussinus ( $\sin^{-1}$ bzw. $arcsin$ ). Der Arkussinus ist die Umkehrfunktion des Sinus. Wendest du diese Umkehrfunktion auf den $\sin(\alpha)$ an, so fällt der Sinus weg und es bleibt der Winkel $\alpha$ stehen. Du darfst aber nicht vergessen den Arkussinus auf der anderen Seite der Gleichung anzuwenden.

Wir betrachten die obige Gleichung und wenden auf beiden Seiten den Arkussinus an:

$\sin^{-1} (\sin(\alpha)) = \sin^{-1} (\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}})$

Auf der linken Seite fällt Sinus einfach weg und es verbleibt der Winkel. Auf der rechten Seite bleibt der Arkussinus stehen:

$\alpha = \sin^{-1}(\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}})$ Berechnung des Winkels mittels Sinus

Merk’s dir!

Zur Berechnung einer Seite oder eines Winkels mittels Sinus müssen also zwei der drei Größe innerhalb der Gleichung gegeben sein.

Videoclip: Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Im nachfolgenden Video zeigt dir Jessica, wie du eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck mittels Sinus berechnen kannst.

Damit du fit für die Prüfung bist, schau dir die nachfolgenden Beispiele an und versuche diese zunächst selbstständig zu lösen.

Beispiel: Sinus anwenden

Im ersten Beispiel betrachten wir die Berechnung der Hypotenuse, im zweiten Beispiel die Berechnung der Gegenkathete und um dritten Beispiel die Berechnung des Winkels.

Aufgabenstellung

Beispiel 1: Berechnung der Hypotenuse mittels Sinus

Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken

Gegeben sei das obige rechtwinklige Dreieck mit dem Spitzen Winkel α = 30° und der Seitenlänge von 5 cm. Berechne die Seite c!

Lösung

Zunächst müssen wir herausfinden, welche Größen wir gegeben haben. Wir haben zum einen den spitzen Winkel mit 30° gegeben und zum anderen die Seite gegenüber vom spitzen Winkel – die Gegenkathete. Gesucht wird die Seite gegenüber vom rechten Winkel – die Hypotenuse.

Gegeben: Spitzer Winkel, Gegenkathete

Gesucht: Hypotenuse

Formel: Sinus

Wir suchen die Hypotenuse und wählen demnach die Sinusgleichung, die nach der Hypotenuse aufgelöst ist:

$\text{Hypotenuse} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{ \sin(\alpha) }$

Die Hypotenuse ist in diesem Beispiel die Seite c, die Gegenkathete die Seite mit der Länge von 5 cm und der Winkel ist mit 30° gegeben:

$c = \dfrac{5 cm}{\sin(30^{\circ})}$

Das Ergebnis dieser Berechnung liefert der Taschenrechner:

$c = 10 cm$

Als Ergebnis erhalten wir, dass die Seite c in dem obigen Beispiel eine Länge von 10 cm aufweist.

Beispiel 2: Berechnung des Winkels mittels Sinus

Aufgabenstellung

Winkel berechnen - Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken — Winkel berechnen – Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken

Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck mit den beiden Seitenlängen 4 cm und 12 cm. Berechne den Winkel α!

Lösung

In diesem Beispiel sind zwei Seitenlängen gegeben aus denen der Winkel berechnet werden soll. Zunächst müssen wir festlegen, welche Seiten in Bezug auf den Winkel $\alpha$ gegeben sind. Die Seitenlänge mit 12 cm liegt gegenüber vom rechten Winkel, hier ist also die Länge der Hypotenuse gegeben. Die Seitenlänge 4 cm liegt gegenüber vom betrachteten Winkel α und ist damit die Länge der Gegenkathete.

Gegeben: Gegenkathete, Hypotenuse

Gesucht: Winkel

Formel: Sinus

Wir wenden hier den Sinus an, weil dieser alle relevanten Größe enthält. Gesucht ist der Winkel, wir benötigen hier also den Arkussinus:

$\alpha = \sin^{-1}(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}})$

Wir setzen die gegebenen Seitenlängen ein:

$\alpha = \sin^{-1}(\dfrac{4 cm}{12 cm})$

Der Taschenrechner liefert das Ergebnis:

$\alpha = 19,47 ^{\circ}$

Der Winkel $\alpha$ des obigen Dreiecks beträgt 19,47°.

Beispiel 3: Berechnung der Gegenkathete

Aufgabenstellung

Gegenkathete berechnen, Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken

Gegeben sei das obige rechtwinklige Dreieck mit der Seitenlänge 10 cm und dem Winkel von 20°. Berechne die Länge der Seite a!

Lösung

Zunächst müssen wir herausfinden, welche Größen wir gegeben haben. Wir haben zum einen den spitzen Winkel mit 20° gegeben und zum anderen die Seite gegenüber vom rechten Winkel, die Hypotenuse mit 10 cm. Gesucht wird die Seite gegenüber vom spitzen Winkel – die Gegenkathete.

Gegeben: Spitzer Winkel, Hypotenuse

Gesucht: Gegenkathete

Formel: Sinus

Wir suchen also die Gegenkathete und wählen die Sinusgleichung umgestellt nach der Gegenkathete:

$\text{Gegenkathete} = \text{Hypotenuse} \cdot \sin(\alpha)$

Die Gegenkathete ist in diesem Beispiel die Seite a, die Hypotenuse die Seite mit der Länge von 10 cm und der Winkel ist mit 20° gegeben:

$a = 10 cm \cdot \sin(20^{\circ})$

Das Ergebnis dieser Berechnung liefert der Taschenrechner:

$a = 3,4 cm$

Als Ergebnis erhalten wir, dass die Seite a in dem obigen Beispiel eine Länge von 3,4 cm hat.

Tausende interaktive Übungsaufgaben

Übungsbereich

Quizfrage 1

“Wusstest du, dass unter jedem Kursabschnitt eine Vielzahl von verschiedenen interaktiven Übungsaufgaben bereitsteht, mit denen du deinen aktuellen Wissensstand überprüfen kannst?”

Kennst du eigentlich schon unser großes Technikerschulen-Verzeichnis für alle Bundesländer mit allen wichtigen Informationen (Studiengänge, Kosten, Anschrift, Routenplaner, Social-Media)? Nein? – Dann schau einfach mal hinein:

Das erwartet dich!

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den >> kostenlosen Probekurs << durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus jedem unserer Kurse!

Auszüge aus unserem Kursangebot!

Hat dir dieses Thema gefallen? – Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen

WT3 (Werkstoffprüfung) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an.

building 4794329 1280 — TM1 (Technische Mechanik – Kurs)

scientist 6621069 1280 — WT3 (Werkstoffprüfung – Kurs)

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 14,90 EUR/Jahr pro Onlinekurs
++ Günstiger geht’s nicht!! ++

Oder direkt >> Mitglied << werden und >> Zugriff auf alle 26 Kurse << (inkl. >> Webinare << + Unterlagen) sichern ab 8,90 EUR/Monat
++ Besser geht’s nicht!! ++