(Ph1-04) Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit schauen wir uns an, wie du den Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken verwendest. Den Sinus nutzt man zur Berechnung einer Seite oder eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck.

 


Für ein optimales Verständnis helfen dir ein Videoclip und drei ausführlich gelöste Beispiele.


 


Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken – Grundlagen


 

Sinus Vorschaubild - Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken
Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken

 

Der Sinus eines spitzen Winkels wird berechnet, indem der Quotient aus der Länge der Gegenkathete und der Hypotenuse gebildet wird:

\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

 

Sind in einem rechtwinkligen Dreieck zwei der drei obigen Größen gegeben, so kannst du die dritte Größe mit dem Sinus berechnen.

 

Schauen wir uns zunächst einmal an, wie die obige Gleichung nach der Gegenkathete, Hypotenuse und nach dem Winkel \alpha aufgelöst wird.

 


Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken – Gegenkathete


Ist in der Aufgabe die Hypotenuse und der Winkel \alpha gegeben und du sollst die Gegenkathete berechnen, also die Seite gegenüber vom Winkel \alpha, dann musst du die obige Gleichung nach der Gegenkathete auflösen:

\text{Gegenkathete} = \text{Hypotenuse} \cdot \sin(\alpha)

 


Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken – Hypotenuse


Ist in der Aufgabe die Gegenkathete und der Winkel \alpha gegeben und du sollst die Hypotenuse berechnen, also die Seite gegenüber vom rechten Winkel, dann musst du die obige Gleichung nach der Hypotenuse auflösen:

\text{Hypotenuse} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{ \sin(\alpha) }

 


Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken – Winkel


Wenn du den Winkel berechnen sollst und es ist die Gegenkathete und die Hypotenuse gegeben, dann musst du die obige Gleichung nach dem Winkel \alpha auflösen. Dazu benötigst du den Arkussinus (\sin^{-1} bzw. arcsin). Der Arkussinus ist die Umkehrfunktion des Sinus. Wendest du diese Umkehrfunktion auf den \sin(\alpha) an, so fällt der Sinus weg und es bleibt der Winkel \alpha stehen. Du darfst aber nicht vergessen den Arkussinus auf der anderen Seite der Gleichung anzuwenden.

Wir betrachten die obige Gleichung und wenden auf beiden Seiten den Arkussinus an:

\sin^{-1} (\sin(\alpha)) = \sin^{-1} (\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}})

 

Auf der linken Seite fällt Sinus einfach weg und es verbleibt der Winkel. Auf der rechten Seite bleibt der Arkussinus stehen:

\alpha = \sin^{-1}(\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}})          Berechnung des Winkels mittels Sinus

 

Zur Berechnung einer Seite oder eines Winkels mittels Sinus müssen also zwei der drei Größe innerhalb der Gleichung gegeben sein.

 


Videoclip: Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck


Im nachfolgenden Video zeigt dir Jessica, wie du eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck mittels Sinus berechnen kannst.


Lernclip
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

 

Damit du fit für die Prüfung bist, schau dir die nachfolgenden Beispiele an und versuche diese zunächst selbstständig zu lösen.

 


Beispiel: Sinus anwenden


Im ersten Beispiel betrachten wir die Berechnung der Hypotenuse, im zweiten Beispiel die Berechnung der Gegenkathete und um dritten Beispiel die Berechnung des Winkels.

 


Beispiel 1: Berechnung der Hypotenuse mittels Sinus


Sinus anwenden - Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken
Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken

 

Aufgabenstellung

 

Gegeben sei das obige rechtwinklige Dreieck mit dem Spitzen Winkel α = 30° und der Seitenlänge von 5 cm. Berechne die Seite c!

 

Lösung

Zunächst müssen wir herausfinden, welche Größen wir gegeben haben. Wir haben zum einen den spitzen Winkel mit 30° gegeben und zum anderen die Seite gegenüber vom spitzen Winkel – die Gegenkathete. Gesucht wird die Seite gegenüber vom rechten Winkel – die Hypotenuse.

Gegeben: Spitzer Winkel, Gegenkathete

Gesucht: Hypotenuse

Formel: Sinus

 

Wir suchen die Hypotenuse und wählen demnach die Sinusgleichung, die nach der Hypotenuse aufgelöst ist:

\text{Hypotenuse} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{ \sin(\alpha) }

 

Die Hypotenuse ist in diesem Beispiel die Seite c, die Gegenkathete die Seite mit der Länge von 5 cm und der Winkel ist mit 30° gegeben:

c = \dfrac{5 cm}{\sin(30^{\circ})}

 

Das Ergebnis dieser Berechnung liefert der Taschenrechner:

c = 10 cm

 

Als Ergebnis erhalten wir, dass die Seite c in dem obigen Beispiel eine Länge von 10 cm aufweist.

 


Beispiel 2: Berechnung des Winkels mittels Sinus


Winkel berechnen - Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken
Winkel berechnen – Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken
Aufgabenstellung

 

Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck mit den beiden Seitenlängen 4 cm und 12 cm. Berechne den Winkel α!

 

Lösung

In diesem Beispiel sind zwei Seitenlängen gegeben aus denen der Winkel berechnet werden soll. Zunächst müssen wir festlegen, welche Seiten in Bezug auf den Winkel \alpha gegeben sind. Die Seitenlänge mit 12 cm liegt gegenüber vom rechten Winkel, hier ist also die Länge der Hypotenuse gegeben. Die Seitenlänge 4 cm liegt gegenüber vom betrachteten Winkel α und ist damit die Länge der Gegenkathete.

 

Gegeben: Gegenkathete, Hypotenuse

Gesucht: Winkel

Formel: Sinus

 

Wir wenden hier den Sinus an, weil dieser alle relevanten Größe enthält. Gesucht ist der Winkel, wir benötigen hier also den Arkussinus:

\alpha = \sin^{-1}(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}})

 

Wir setzen die gegebenen Seitenlängen ein:

\alpha = \sin^{-1}(\dfrac{4 cm}{12 cm})

 

Der Taschenrechner liefert das Ergebnis:

\alpha = 19,47 ^{\circ}

 

Der Winkel \alpha des obigen Dreiecks beträgt 19,47°.

 


Beispiel 3: Berechnung der Gegenkathete


Gegenkathete berechnen, Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken
Gegenkathete berechnen, Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken
Aufgabenstellung

 

Gegeben sei das obige rechtwinklige Dreieck mit der Seitenlänge 10 cm und dem Winkel von 20°. Berechne die Länge der Seite a!

 

Lösung
 

Zunächst müssen wir herausfinden, welche Größen wir gegeben haben. Wir haben zum einen den spitzen Winkel mit 20° gegeben und zum anderen die Seite gegenüber vom rechten Winkel, die Hypotenuse mit 10 cm. Gesucht wird die Seite gegenüber vom spitzen Winkel – die Gegenkathete.

 

Gegeben: Spitzer Winkel, Hypotenuse

Gesucht: Gegenkathete

Formel: Sinus

 

Wir suchen also die Gegenkathete und wählen die Sinusgleichung umgestellt nach der Gegenkathete:

 \boxed{\text{Gegenkathete} = \text{Hypotenuse} \cdot \sin(\alpha) }

 

Die Gegenkathete ist in diesem Beispiel die Seite a, die Hypotenuse die Seite mit der Länge von 10 cm und der Winkel ist mit 20° gegeben:

a = 10 cm \cdot \sin(20^{\circ})

 

Das Ergebnis dieser Berechnung liefert der Taschenrechner:

a = 3,4 cm

 

Als Ergebnis erhalten wir, dass die Seite a in dem obigen Beispiel eine Länge von 3,4 cm hat.

 



wie gehts weiter
Wie geht's weiter?
Nachdem wir uns jetzt das Thema Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken angeschaut haben, betrachten wir in der nächsten Lerneinheit den Kosinus bei rechtwinkligen Dreiecken.

 

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