Der Sinus eines Winkels ist gleich Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse. Willst du einen Winkel mittels Sinus berechnen, so muss die Gegenkathete zum betrachteten Winkel und die Hypotenuse gegeben sein. Es ist ebenfalls möglich eine Seite mittels Sinus zu berechnen, wenn Winkel und Hypotenuse oder Gegenkathete gegeben sind.
Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken – Grundlagen
Der Sinus eines spitzen Winkels wird berechnet, indem der Quotient aus der Länge der Gegenkathete und der Hypotenuse gebildet wird:
Sinus im rechtwinkligen Dreieck
Sind in einem rechtwinkligen Dreieck zwei der drei obigen Größen gegeben, so kannst du die dritte Größe mit dem Sinus berechnen.
Schauen wir uns zunächst einmal an, wie die obige Gleichung nach der Gegenkathete, Hypotenuse und nach dem Winkel aufgelöst wird.
Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken – Gegenkathete
Ist in der Aufgabe die Hypotenuse und der Winkel gegeben und du sollst die Gegenkathete berechnen, also die Seite gegenüber vom Winkel
, dann musst du die obige Gleichung nach der Gegenkathete auflösen:
Gegenkathete
Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken – Hypotenuse
Ist in der Aufgabe die Gegenkathete und der Winkel gegeben und du sollst die Hypotenuse berechnen, also die Seite gegenüber vom rechten Winkel, dann musst du die obige Gleichung nach der Hypotenuse auflösen:
Hypotenuse
Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken – Winkel
Wenn du den Winkel berechnen sollst und es ist die Gegenkathete und die Hypotenuse gegeben, dann musst du die obige Gleichung nach dem Winkel auflösen. Dazu benötigst du den Arkussinus (
bzw.
). Der Arkussinus ist die Umkehrfunktion des Sinus. Wendest du diese Umkehrfunktion auf den
an, so fällt der Sinus weg und es bleibt der Winkel
stehen. Du darfst aber nicht vergessen den Arkussinus auf der anderen Seite der Gleichung anzuwenden.
Wir betrachten die obige Gleichung und wenden auf beiden Seiten den Arkussinus an:
Auf der linken Seite fällt Sinus einfach weg und es verbleibt der Winkel. Auf der rechten Seite bleibt der Arkussinus stehen:
Berechnung des Winkels mittels Sinus
Zur Berechnung einer Seite oder eines Winkels mittels Sinus müssen also zwei der drei Größe innerhalb der Gleichung gegeben sein.
Videoclip: Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Im nachfolgenden Video zeigt dir Jessica, wie du eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck mittels Sinus berechnen kannst.
Damit du fit für die Prüfung bist, schau dir die nachfolgenden Beispiele an und versuche diese zunächst selbstständig zu lösen.
Beispiel: Sinus anwenden
Im ersten Beispiel betrachten wir die Berechnung der Hypotenuse, im zweiten Beispiel die Berechnung der Gegenkathete und um dritten Beispiel die Berechnung des Winkels.
Beispiel 1: Berechnung der Hypotenuse mittels Sinus
Sinus bei rechtwinkligen Dreiecken
Gegeben sei das obige rechtwinklige Dreieck mit dem Spitzen Winkel α = 30° und der Seitenlänge von 5 cm. Berechne die Seite c!
Zunächst müssen wir herausfinden, welche Größen wir gegeben haben. Wir haben zum einen den spitzen Winkel mit 30° gegeben und zum anderen die Seite gegenüber vom spitzen Winkel – die Gegenkathete. Gesucht wird die Seite gegenüber vom rechten Winkel – die Hypotenuse.
Gegeben: Spitzer Winkel, Gegenkathete
Gesucht: Hypotenuse
Formel: Sinus
Wir suchen die Hypotenuse und wählen demnach die Sinusgleichung, die nach der Hypotenuse aufgelöst ist:
Die Hypotenuse ist in diesem Beispiel die Seite c, die Gegenkathete die Seite mit der Länge von 5 cm und der Winkel ist mit 30° gegeben:
Das Ergebnis dieser Berechnung liefert der Taschenrechner:
Als Ergebnis erhalten wir, dass die Seite c in dem obigen Beispiel eine Länge von 10 cm aufweist.
Beispiel 2: Berechnung des Winkels mittels Sinus
Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck mit den beiden Seitenlängen 4 cm und 12 cm. Berechne den Winkel α!
In diesem Beispiel sind zwei Seitenlängen gegeben aus denen der Winkel berechnet werden soll. Zunächst müssen wir festlegen, welche Seiten in Bezug auf den Winkel gegeben sind. Die Seitenlänge mit 12 cm liegt gegenüber vom rechten Winkel, hier ist also die Länge der Hypotenuse gegeben. Die Seitenlänge 4 cm liegt gegenüber vom betrachteten Winkel α und ist damit die Länge der Gegenkathete.
Gegeben: Gegenkathete, Hypotenuse
Gesucht: Winkel
Formel: Sinus
Wir wenden hier den Sinus an, weil dieser alle relevanten Größe enthält. Gesucht ist der Winkel, wir benötigen hier also den Arkussinus:
Wir setzen die gegebenen Seitenlängen ein:
Der Taschenrechner liefert das Ergebnis:
Der Winkel des obigen Dreiecks beträgt 19,47°.
Beispiel 3: Berechnung der Gegenkathete
Gegeben sei das obige rechtwinklige Dreieck mit der Seitenlänge 10 cm und dem Winkel von 20°. Berechne die Länge der Seite a!
Zunächst müssen wir herausfinden, welche Größen wir gegeben haben. Wir haben zum einen den spitzen Winkel mit 20° gegeben und zum anderen die Seite gegenüber vom rechten Winkel, die Hypotenuse mit 10 cm. Gesucht wird die Seite gegenüber vom spitzen Winkel – die Gegenkathete.
Gegeben: Spitzer Winkel, Hypotenuse
Gesucht: Gegenkathete
Formel: Sinus
Wir suchen also die Gegenkathete und wählen die Sinusgleichung umgestellt nach der Gegenkathete:
Die Gegenkathete ist in diesem Beispiel die Seite a, die Hypotenuse die Seite mit der Länge von 10 cm und der Winkel ist mit 20° gegeben:
Das Ergebnis dieser Berechnung liefert der Taschenrechner:
Als Ergebnis erhalten wir, dass die Seite a in dem obigen Beispiel eine Länge von 3,4 cm hat.
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