[ME1] Prüfungsaufgabe: Getriebewelle mit Kerbe berechnen

In diesen Kursabschnitt befassen wir uns ausführlich mit dem Thema Kerben bei einer Getriebewelle. Dabei gehen wir in dieser Prüfungsaufgabe auf die Berechnung der Beanspruchungen, Vergleichsspannungen, Werkstoffgrenzwerte & Ausnutzung im Detail ein.

Für ein optimales Verständnis helfen dir einige anschauliche Beispiele und abschließende, umfangreiche Abbildungen zu dem Thema, sowie ein zusammenfassender Videoclip.

Getriebewelle – Grundlagen

Was ist eine Getriebewelle?

Eine Getriebewelle ist ein wichtiges Bauteil in einem Getriebe, das dazu dient, Drehbewegungen zwischen verschiedenen Teilen des Getriebes zu übertragen. Sie besteht in der Regel aus einer länglichen, zylinderförmigen Stange oder Welle, die typischerweise an beiden Enden Lager oder andere Verbindungselemente aufweist. Die Getriebewelle kann verschiedene Formen und Größen haben, abhängig von der Art des Getriebes und seiner Anwendung.

Was ist die Hauptaufgabe der Getriebewelle?

Die Hauptfunktion einer Getriebewelle besteht darin, die Energie und das Drehmoment von der Eingangswelle (z. B. von einem Motor) auf die Ausgangswelle (die die Antriebskraft an die Räder oder andere Teile des Fahrzeugs überträgt) zu übertragen.

Dies geschieht oft durch eine Reihe von

Zahnrädern,
Kupplungen und
anderen Mechanismen,

die auf der Getriebewelle angebracht sind.

Die Getriebewelle spielt somit eine zentrale Rolle bei der Steuerung und Anpassung der Geschwindigkeit und des Drehmoments in einem Fahrzeug oder einer Maschine, um die gewünschte Leistung und Fahrzeugbewegung zu erreichen.

Getriebewelle mit Kerbe – Ausgangssituation

Was zeichnet eine Getriebewelle mit Kerbe aus?

Eine Getriebewelle mit Kerbe ist eine Getriebewelle, die eine oder mehrere Nuten oder Kerben auf ihrer Oberfläche aufweist. Diese Kerben dienen dazu, verschiedene Komponenten wie Ringe, Buchsen, Lager oder Riemenscheiben sicher auf der Welle zu fixieren. Die Kerben bieten eine Art Verriegelung oder Haltemechanismus, der verhindert, dass die auf der Welle montierten Teile während des Betriebs verrutschen oder sich lösen.

Die Anzahl und Position der Kerben auf der Getriebewelle hängen von der spezifischen Anwendung und dem Design des Getriebes ab. Sie werden oft in einem bestimmten Muster angebracht, um eine sichere Verbindung und Positionierung der Komponenten zu gewährleisten.

Merk’s dir!

Getriebewellen mit Kerben sind weit verbreitet in verschiedenen mechanischen Systemen, insbesondere in Getrieben, die in Fahrzeugen, Maschinen und anderen Geräten eingesetzt werden.

Geplante Kerben tragen dazu bei, die Funktionalität und Zuverlässigkeit des Getriebes zu verbessern, indem sie die ordnungsgemäße Positionierung der Komponenten sicherstellen.

Getriebewelle mit Kerbe – Prüfungsaufgabe

Wie du bereits erfahren hast, weist eine Getriebewelle in den meisten Fälle gleich mehrere Kerben auf, weshalb wir nun für ein besseres Verständnis eine Festigkeitsberechnung als Festigkeitsnachweis durchführen werden.

Nachfolgend siehst du den Ausschnitt einer Getriebewelle, welcher uns als Berechnungsgrundlage dient.

Getriebewelle mit Kerbe [Ausschnitt / Schema]

Du kannst der Abbildung entnehmen, dass die Welle eine Kerbe mit dem Durchmesser $d$ und einem Kerbradius $r$ aufweist und durch eine Zugbeanspruchung $F_Z$ , ein Biegemoment $M_B$ sowie ein Torsionsmoment $T$ belastet wird.

Getriebewelle – Aufgabenstellung

Nun verschaffen wir uns einen Überblick zu den gesuchten Größen, sowie für gegebenen Größen, die eine Berechnung erst ermöglichen.

Gesuchte Größen:

Es sollen im Rahmen des Festigkeitsnachweises folgende Größen berechnet werden:

Beanspruchungen:

$F_Z = ?$ Zugbeanspruchung,

$M_B = ?$ Biegemoment,

$T = ?$ Torsionsmoment

Vergleichsspannungen:

$\sigma_{vM} = ?$ Mittelspannung,

$\sigma_{vA} = ?$ Ausschlagspannung,

$\sigma_{v} = ?$ Vergleichsspannung mit statischem & dynamischen Anteil

Werkstoffgrenzwert:

$\sigma_{A, zul} = ?$ Werkstoffgrenzwert

Ausnutzung:

$A* = ?$ Ausnutzung

Angaben: Gegebene Größen

Um erfolgreiche Berechnungen durchführen zu können, benötigen wir selbstverständlich einige Angaben, ohne welche ein Festigkeitsnachweis nicht durchgeführt werden kann.

Belastungsangaben:

Zugbelastung: $F_z = 1000 N$
Biegemoment: $M_b = \pm 30 Nm$
Torsionsmoment: $T = 100 Nm$

Sicherheitsfaktor gegen Bruch (Wellenversagen): $v_B = 1,8$ [dimensionlose Zahl]

Kerbangaben:

Querschnitt der Kerbe: $d = 20 mm$
Radius der Kerben: $r = 2 mm$
Dimensionslose Kerbformzahl für Zug: $\alpha_{kz} = 3,3$
Dimensionslose Kerbformzahl für Biegung: $\alpha_{kb} = 3,0$
Dimensionslose Kerbformzahl für Zug: $\alpha_{kt} = 2,0$

Die Kerbformzahlen, können für die unterschiedlichen Belastungsfälle aus Tabellenbüchern entnommen werden.

Werkstoffangaben:

Bezeichnung [Werkstoffnummer] : 16MnCr5 [Alt: EC80] [Werkstoffnummer: 1.7132]
Zugfestigkeit: $R_m = 800 \frac{N}{mm^2}$
Streckgrenze: $R_{eH} = 650 \frac{N}{mm^2}$

Was kennzeichnet den Werkstoff [16MnCr5] der Getriebewelle?

Der Werkstoff 1.7131 bzw. 16MnCr5, der auch heute noch unter seiner alten Bezeichnung EC80 bekannt ist, ist ein chrom-manganlegierter Einsatzstahl nach EN 10084 mit einer maximal zu erreichenden Lieferhärte von 207 HB. Verwendet wird dieser Stahl vor allem für verschleißbeanspruchte Bauteile, die über eine hohe Festig- sowie Zähigkeit und eine Kernfestigkeit von 800 bis 1100 N/mm² verfügen müssen.

Getriebewelle – Lösung

Die Kenntnis der obigen Angaben / Größen, erlaubt uns nun eine Berechnung durchzuführen.

Beanspruchungen

Wir beginnen mit den Beanspruchungen sowie der Ermittlung der maximal, zulässigen Werte.

Zugbeanspruchung

Eine Zugbeanspruchung wird im Normalfall mit nachfolgender Gleichung bestimmt:

Zugbeanspruchung – Allgemein

$\sigma = \frac{F}{A}$

Kennzahlen:

$\sigma =$ Zugbeanspruchung
$F =$ Kraft
$A =$ Querschnittsfläche

Die Fläche bei einem Kreisquerschnitt berechnet sich wie folgt:

$A = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$

Kennzahlen

$A =$ Kreisfläche
$\pi =$ Kreiszahl [3.14159….]
$d =$ Durchmesser

Mit unseren Angaben folgt daraus:

Zugbeanspruchung – Getriebewelle

Wir setzen die Flächengleichung in die allgemeine Gleichung ein, wodurch die Zahl 4 in den Zähler hochrutscht [Kehrwert] und Kreiszahl & Durchmesser² im Zähler verbleiben.

$\sigma_{nz} = \frac{F \cdot 4}{\pi \cdot d^2}$

Jetzt setzen wir die Werte ein:

$\sigma_{nz} = \frac{ 1000 N \cdot 4}{3,1415 \cdot (20 mm)^2}$

Ausgerechnet erhalten wir als Ergebnis:

$\sigma_{nz} = 3,18 \frac{N}{mm^2}$

maximal zulässige Zugbeanspruchung – Getriebewelle

Um diese Größe zu ermitteln, multiplizieren wir unser obiges Ergebnis mit der Kerbformzahl für Zug:

$\sigma_{z,max} = \alpha_{kz} \cdot \sigma_{nz}$

Einsetzen der Werte:

$\sigma_{z, max} = 3,3 \cdot 3,18 \frac{N}{mm^2}$

Als Ergebnis erhalten wir:

$\sigma_{z, max} = 10,5 \frac{N}{mm^2}$

Biegebeanspruchung

Eine Biegespannung wird mit der nachfolgenden Gleichung bestimmt:

Biegespannung – Allgemein

$\sigma = \frac{M_b}{W_b}$

Kennzahlen:

$\sigma =$ Biegespannung
$M_b =$ Biegemoment
$W_b =$ Widerstandsmoment [Abhängig von der Geometrie]

Biegespannung – Getriebewelle

Das Widerstandsmoment für einen runden Balken [Getriebewelle] wird angegeben mit $W_b = \frac{ \pi \cdot d^3}{32}$

$\sigma_{bz} = \frac{M_b \cdot 32}{\pi \cdot d^3}$

Einsetzen der bekannten Werte ergibt:

$\sigma_{bz} = \frac{30 Nm \cdot 32}{\pi \cdot (20 mm)^3}$

Wir erhalten als Ergebnis:

$\sigma_{bz} = 38,2 \frac{N}{mm^2}$

maximal zulässige Biegebeanspruchung – Getriebewelle

Um diese Größe zu ermitteln, multiplizieren wir unser obiges Ergebnis mit der Kerbformzahl für Biegung:

$\sigma_{b,max} = \alpha_{kb} \cdot \sigma_{bz}$

Einsetzen der Werte:

$\sigma_{b, max} = 3,0 \cdot 38,2 \frac{N}{mm^2}$

Als Ergebnis erhalten wir:

$\sigma_{b, max} = 114,6 \frac{N}{mm^2}$

Torsionsbeanspruchung

Eine Scherung wird mit der nachfolgenden Gleichung bestimmt:

Scherung – Allgemein

$\tau = \frac{T}{W_p}$

Kennzahlen:

$\tau=$ Scherung
$T =$ Scherungsmoment
$W_p =$ plastisches Widerstandsmoment [Abhängig von der Geometrie]

Biegespannung – Getriebewelle

Das plastische Widerstandsmoment für einen runden Balken [Getriebewelle] wird angegeben mit $W_p = \frac{ \pi \cdot d^3}{16}$

$\tau_{nt} = \frac{T \cdot 16}{\pi \cdot d^3}$

Einsetzen der bekannten Werte ergibt:

$\tau_{nt} = \frac{100 Nm \cdot 16}{\pi \cdot (20 mm)^3}$

Wir erhalten als Ergebnis:

$\tau_{nt} = 63,7 \frac{N}{mm^2}$

maximal zulässige Torsionsbeanspruchung – Getriebewelle

Um diese Größe zu ermitteln, multiplizieren wir unser obiges Ergebnis mit der Kerbformzahl für Scherung (Torsion):

$\tau_{t,max} = \alpha_{kt} \cdot \tau_{nt}$

Einsetzen der Werte:

$\tau_{t, max} = 2,0 \cdot 63,7 \frac{N}{mm^2}$

Als Ergebnis erhalten wir:

$\tau_{t, max} = 127,4 \frac{N}{mm^2}$

Vergleichsspannungen

Mit der Kenntnis der notwendigen Spannungen von Zug, Biegung & Torsion, gehen wir jetzt einen Schritt weiter und ermitteln die Vergleichsspannung. Hierzu benötigen wir Kenntnis darüber welche Arten von Lastfällen auftreten. Bei der Mittelspannung und Ausschlagspannung gilt folgendes:

Mittelspannungen

$\sigma_{mz} = \sigma_{z,max}$
$\sigma_{mb} = 0$
$\tau_{mt} = \tau_{t,max}$

Dass es sich hier um die Mittelspannungen handelt, erkennst du am tiefergestellten m.

Ausschlagspannungen

$\sigma_{az} = 0$
$\sigma_{ab} = \sigma_{b,max}$
$\tau_{at} = 0$

Gestaltänderungsenergiehypothese

Für das weitere Vorgehen benötigen wir diese Hypothese. Wobei es sich in unserem Fall um einen fließfähigen Werkstoff handelt, bei welchem im statischen Anteil der Vergleichsspannung die Kerbwirkung unberücksichtigt bleibt. Die Kerbformzahlen sind dann $\alpha_{kz}, \alpha_{kt} \approx 1$

Anteil der Mittelspannung – Getriebewelle

Für die Mittelspannung gilt dann:

$\sigma_{vm} = \sqrt{(\sigma_{nz} \cdot \alpha_{kz})^2 + 3 (\tau_{nt} \cdot \alpha_{kt})^2}$

Nun setzen wir die bekannten Werte ein:

$\sigma_{vm} = \sqrt{(3,18 \frac{N}{mm^2} \cdot 1)^2 + 3 (63,7 \frac{N}{mm^2} \cdot 1)^2}$

Als Ergebnis erhalten wir:

$\sigma_{vm} = 110,4 \frac{N}{mm^2}$

Anteil der Ausschlagspannung – Getriebewelle

Hier müssen wir nach Bollenrath-Troost berücksichtigen: $\frac{\beta_{kb}}{\alpha_{kb}} = 0,77$ aufgelöst nach $\beta_{kb}$ erhalten wir: $\beta_{kb} = 0,77 \cdot \alpha_{kb} = 2,31$

Für die Ausschlagspannung gilt dann:

$\sigma_{va} = \sqrt{\sigma_b^2} \cdot \beta_{kb}$

Nun die bekannten Werte einsetzen:

$\sigma_{va} = 38,2 \frac{N}{mm^2} \cdot 2,31$

Als Ergebnis erhalten wir:

$\sigma_{va} = 88,2 \frac{N}{mm^2}$

Vergleichsspannung

Jetzt sind wir am Ziel und haben alle Werte um die Vergleichsspannung zu ermitteln, die sich aus einem statischen (Mittelspannung) und einem dynamischen (Ausschlagspannung) Anteil zusammensetzt.

Vergleichsspannung – Getriebewelle

$\sigma_v = statischer Anteil \pm dynamischer Anteil$

Formal ist das:

$\sigma_v = \sigma_{vm} \pm \sigma_{va}$

Einsetzen der Werte:

$\sigma_v = 110,4 \frac{N}{mm^2} \pm 88,2 \frac{N}{mm^2}$

Als Ergebnisse erhalten wir:

$\sigma_{v1} = 22,2 \frac{N}{mm^2}$

sowie

$\sigma_{v1} = 198,6 \frac{N}{mm^2}$

Werkstoffgrenzwerte

Zur Bestimmung des Werkstoffgrenzwertes können wir das zugehörige Smith-Diagramm [Werkstoff: EC80] heranziehen und direkt aus diesem ablesen. Es ergeben sich insgesamt 3 Kurven, je eine pro Belastungsart.

$\sigma_{bD} =$ Biegedauerfestigkeit
$\sigma_{zdD} =$ Zugdauerfestigkeit, Druckdauerfestigkeit
$\sigma_{ztD} =$ Torsionsdauerfestigkeit

Aus dem Diagramm können wir ablesen, dass der Grenzwert für eine Zug- oder Druckbeanspruchung bei $\sigma_{zdD} = 600 \frac{N}{mm^2}$ liegt.

Merk’s dir!

Der oben abgelesene Werkstoffgrenzwert für Zug oder Druck ändert sich je nach Werkstückdurchmesser.

Für das weitere Vorgehen ziehen wir den ermittelten Wert für die Mittelspannung $\sigma_{vm} = 110,4 \frac{N}{mm^2}$ heran. Diesen Punkt suchen wir jetzt auf der Gerade im Smith-Diagramm. Hierzu bewegen wir uns an der entsprechenden Position auf der x-Achse des Diagramms vertikal nach oben, bis zu der Stelle wo die Gerade für die Zugdauerfestigkeit geschnitten wird. In diesem Schnittpunkt erhalten wir für die Mittelspannung von $\sigma_{vm} = 110,4 \frac{N}{mm^2}$ für die Grenzspannung einen Wert von $\sigma_0 = 460 \frac{N}{mm^2}$ .

Zur Formulierung der Gleichung für $\sigma_{A,zul}$ benötigen wir 3 Größen

Vergleichsspannung: $\sigma_v = 110,4 \frac{N}{mm^2} \pm 88,2 \frac{N}{mm^2}$
Grenzspannung: $\sigma_0 = 460 \frac{N}{mm^2}$
Sicherheit gegen Bruch: $\nu_B = 1,8$ [ $\nu$ = griechischer Buchstabe NÜ ]

Zulässige Spannung

$\sigma_{A,zul} = \frac{-110,4 + 460}{\theta_B}$

Einsetzen der Werte

$\sigma_{A,zul} = \frac{-110,4 + 460}{\theta_B}$

Als Ergebnis erhalten wir

$\sigma_{A,zul} = 194 \frac{N}{mm^2}$

Ausnutzung

Im letzten Schritt bestimmen wir die Ausnutzung $A^*$ . Diese errechnet sich mit der nachfolgenden Gleichung.

Ausnutzung

$A^* = \frac{dynamischer Anteil}{Zulässige Spannung}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$A^* = \frac{ 88,2 \frac{N}{mm^2}}{194 \frac{N}{mm^2}}$

Als Ergebnis erhalten wir:

$A^* = 0,45$

Wir haben eine Ausnutzung von 45 % gegeben.

Mit dieser Teilberechnung der Ausnutzung schließen wir unseren Festigkeitsnachweis ab. Wir stellen fest, dass unter den gegebenen Umständen, die Getriebewelle mit Kerbe hält.

Was kommt als Nächstes?

Nachdem wir uns mit dem Thema befasst haben, gehen wir im kommenden Kursabschnitt intensiv auf das Thema Korrosion ein.

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