[ME1] Hooke’sche Gesetz und Elastizitätsmodul in der Maschinentechnik

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Inhaltsverzeichnis:

In diesem Kurstext gehen wir auf die Beanspruchungsart Zug in der Maschinentechnik näher ein. Dabei behandeln wir das Hooke’sche Gesetz [Hookesche Gesetz] und den Elastizitätsmodul.

Für ein optimales Verständnis helfen dir einige anschauliche Beispiele und abschließende, umfangreiche Abbildungen  zu dem Thema, sowie ein zusammenfassender Videoclip.

 

Hookesche Gesetz – Allgemein

Das Hooke’sche Gesetz ist ein physikalisches Gesetz, welches beschreibt, wie sich elastische Materialien wie Federn oder Gummi verhalten, wenn sie einer Kraft ausgesetzt werden. Es besagt, dass die Ausdehnung oder Stauchung eines solchen Materials direkt proportional zur auf sie ausgeübten Kraft ist.

Anders ausgedrückt: Je stärker die Kraft, desto mehr wird das Material ausgedehnt oder zusammengedrückt.

Merk’s dir!

Das Hookesche Gesetz lässt sich mathematisch durch eine einfache Formel ausdrücken: F = kx. Dabei steht F für die auf das Material ausgeübte Kraft, x für die daraus resultierende Ausdehnung oder Stauchung und k für eine Konstante, die als Federkonstante bezeichnet wird.

Die Federkonstante gibt an, wie stark das Material ist und wie viel Kraft benötigt wird, um es auszudehnen oder zusammenzudrücken.

 

Das Hookesche Gesetz gilt nur für elastische Materialien, die nach Entfernung der Kraft in ihre ursprüngliche Form zurückkehren.

Das Gesetz findet Anwendung in vielen Bereichen, wie zum Beispiel in der Konstruktion von Brücken, Gebäuden oder in der Mechanik von Fahrzeugen.

 

Hookesche Gesetz für eine Zugbeanspruchung

Für die Relation zwischen Spannung \sigma und Dehnung \epsilon im linear-elastischen Bereich können wir das Hookesche Gesetz heranziehen. 

Formal sieht das wie folgt aus:

Hookesche Gesetz (linear-elastische Bereich)

\sigma = E \cdot \epsilon 

Kennzahlen:

  • \sigma = Spannung
  • \epsilon = Dehnung
  • E = Elastizitätsmodul

 

E-Modul für Zugkräfte

Der Elastizitätsmodul E oder auch E-Modul ist der Proportionalitätsfaktor zwischen den beiden Größen und gibt die Steigung der Hookeschen Geraden wieder. Als wichtige Materialgröße, erlaubt er uns Aussagen zum elastischen Verhalten eines Materials zu treffen, unabhängig davon ob es sich um eine Druck- oder Zugbelastung handelt [identischer Wert].  

Angegeben wird der E-Modul mit der Einheit \frac{N}{mm^2} 

Durch Umstellen des Hookeschen Gesetzes können wir den E-Modul auch direkt aus der Spannung und der Dehnung berechnen. Diese Werte erhalten wir wiederum aus dem Zugversuch. 

Elastizitätsmodul

E = \frac{\sigma}{\epsilon}

Mit den Gleichungen für die Spannung und Dehnung (eingesetzt)

E = \frac{\frac{F}{A}}{\frac{\triangle l}{L_0}} 

Kennzahlen:

  • \sigma = Spannung
  • \epsilon = Dehnung
  • E = Elastizitätsmodul
  • F = Kraft
  • A = Querschnittsfläche
  • \triangle l = Längenänderung
  • L_0 = Ausgangslänge

 

Ferner können wir das Hookesche Gesetz jeweils nach \sigma und \epsilon auflösen:

Spannung

\sigma = E \cdot \epsilon = E \cdot \frac{\triangle l}{L_0}

Kennzahlen:

  • \sigma = Spannung
  • \epsilon = Dehnung
  • E = Elastizitätsmodul
  • \triangle l = Längenänderung
  • L_0 = Ausgangslänge
Dehnung

\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{F}{E \cdot A}

Kennzahlen:

  • \sigma = Spannung
  • \epsilon = Dehnung
  • E = Elastizitätsmodul
  • F = Kraft
  • A = Querschnittsfläche

wobei das Produkt aus E und A 

  • E \cdot A = Dehnsteifigkeit

ist. 

 

Welchen Wert der E-Modul annimmt hängt vom jeweiligen Werkstoff ab. In der nachfolgenden Abbildung siehst du einige typische Werte für den E-Modul

Hookesche Gesetz, E-Modul (Elastizitätsmodul) - Auswahl Werkstoffe
Hookesche Gesetz, E-Modul (Elastizitätsmodul) – Auswahl Werkstoffe

 

Beispiel: Berechnung des E-Modul

Zum Abschluss betrachten wir nun ein kleines Rechenbeispiel, bei welchem unter anderem der E-Modul errechnet werden soll. 

Aufgabenstellung

Im Labor wird ein Zugversuch durchgeführt und nun soll der E-Modul errechnet werden. 

Der verwendete Rundstab hat einen Durchmesser von d = 20 mm 

Die Ausgangslänge des Rundstabes beträgt L_0 = 50 mm 

Die Prüfkraft wird mit F = 20 kN angegeben. 

Es stellt sich eine Verlängerung von \triangle l = 1 mm ein. 

  1. Wie groß ist die Zugspannung \sigma?
  2. Wie groß ist die elastische Dehnung \epsilon?
  3. Welchen Wert besitzt der E-Modul E?
Lösung 1

Bestimmung der Zugspannung

\sigma = \frac{F}{A_0} 

Im ersten Schritt müssen wir noch die Querschnittsfläche A_0 des Rundstabes berechnen:

A_0 = \pi \cdot r^2

A_0 = \pi \cdot (\frac{d}{2})^2

A_0 = \pi \cdot (\frac{10}{2})^2

A_0 = \pi \cdot (10 mm)^2

A_0 = 314,16 mm^2

Im zweiten Schritt müssen wir noch die Kraft in die passende Einheit umrechnen:

F = 20 kN = 20000 N

Im letzten Schritt können wir die Werte einsetzen und die Spannung berechnen:

\sigma = \frac{F}{A}

\sigma = \frac{20000 N}{314,16 mm^2}

\sigma = 63,66 \frac{N}{mm^2} 

Die Zugspannung beträgt 63,66 N/mm².

Lösung 2

Bestimmung der Dehnung

\epsilon = \frac{\triangle l}{L_0}

\epsilon = \frac{1 mm}{50 mm} 

\epsilon = 0,02 = 2 %

Die Dehnung beträgt 2 %. 

Lösung 3

Bestimmung des Elastizitätsmodul

E = \frac{F \cdot L_0}{A_0 \cdot \triangle l}

E = \frac{ 10000 N \cdot 50 mm}{314,16 mm^2 \cdot 1 mm}

E = 1591,55 \frac{N}{mm^2} 

Der E-Modul beträgt 1591,55 N/mm². 

 

 

Was kommt als Nächstes?

Nachdem wir uns mit dem Thema Hookesche Gesetz und Elastizitätsmodul bei Zugkräften befasst haben, gehen wir im nächsten Abschnitt über zu den Druckbeanspruchungen sowie der Flächenpressung. 

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