[ME1] Biegebeanspruchung – Klausuraufgabe

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Inhaltsverzeichnis:

In diesem Kurstext stellen wir dir basierend auf dem vorangegangenen Kurstext eine typische Klausuraufgabe zur Biegebeanspruchung vor. Dabei bedienen wir uns des bereits behandelten Beispiels, nun jedoch mit Zahlenwerten.  

Für ein optimales Verständnis helfen dir einige anschauliche Beispiele und abschließende, umfangreiche Abbildungen  zu dem Thema, sowie ein zusammenfassender Videoclip.

 

Biegebeanspruchung Klausuraufgabe: Ausgangssituation

Beispiel!

Erneute betrachten wir das Wellenlager, welches auf einem Stahlträger [Balken] aufliegt. Dieser Balken liegt zudem auf einem Lagerbock. Der Lagerbock besteht aus einem Festlager A und einem Loslager B

Klausuraufgabe: Biegebeanspruchung - Schnittgrößen berechnen
Klausuraufgabe: Biegebeanspruchung – Schnittgrößen berechnen

Das Wellenlager wird durch eine schräge Kraft F angegriffen. 

 

Aufgabenstellung

Deine Aufgabe besteht darin, für diesen Balken alle Schnittgrößen zu ermitteln. 

Gegeben: 

  • F = 20 kN: Schräg angreifende Kraft
  • \alpha = 30°: Winkel der angreifenden Kraft [ = Angriffswinkel]
  • l_1 = 5 m: Abstand Festlager zu Mitte Wellenlager [Angriffspunkt der Kraft F]
  • l_2 = 3 m: Abstand Loslager zu Mitte Wellenlager [Angriffspunkt der Kraft F]
  • a = 0,5 m: Abstand zwischen Balken und angreifender Kraft [ = Hebelarm]

 

Gesucht:

Lagerkräfte und anschließend Schnittgrößen!

 

Wir gehen wie bereits behandelt nach dem bekannten Muster vor:

  1. Freischneiden [Mechanisches Ersatzbild]
  2. Lagerkräfte einzeichnen [Mechanisches Ersatzbild]
  3. Lagerkräfte ermitteln [Gleichgewichtsbedingungen]
  4. Schnittgrößen ermitteln
Merk’s dir!

Wichtige Annahmen zur weiteren Bearbeitung der Aufgabe:

Beanspruchungen: Dem äußeren Moment stehen innere Spannungen gegenüber, welche

  • nach Bernoulli: Querschnitte bleiben eben! [Für linearen Verformungszustand erforderlich]
  • nach St. Vernant: Ausreichender Abstand zwischen Einspannung und Angriffsstelle [Verhältnis | Dimensionierung des Balkens ( Länge zu Höhe: 5 : 1)   l \le 5 \cdot h]

über die Querschnittsfläche des Balkens als linear verteilt angenommen werden. 

 

Lösung 1: Freischneiden

Klausuraufgabe: Schnittgrößen bei Biegung [Freischnitt]
Klausuraufgabe: Schnittgrößen bei Biegung [Freischnitt]

Der Freischnitt beinhaltet sowohl die Kraft F als auch die Lagerkräfte A_x, A_z, B_z. Die Kraftkomponenten F_x und F_z müssen noch angepasst werden, da es sich um eine schräge Kraft handelt, bei welcher der Winkel \alpha gegeben ist.

 

Lösung 2: Lagerkräfte einzeichnen, Kraftkomponenten eintragen

Im ersten Schritt zerlegen wir die schräge Kraft F in ihre Kraftkomponenten F_x und F_z und visualisieren dies erneut in unserem Freischnitt:

Klausuraufgabe: Einzeichnen der Lagerkräfte und Kraftkomponenten
Klausuraufgabe: Einzeichnen der Lagerkräfte und Kraftkomponenten
Lösung 3: Lagerkräfte ermitteln

Wir bestimmen die drei Lagerkräfte am ungeschnittenen Balken. Hierzu stellen wir die drei Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene auf. 

  1. Horizontale Gleichgewichtsbedingung
  2. Vertikale Gleichgewichtsbedingung
  3. Momentengleichgewichtsbedingung

Horizontale GGB:

\rightarrow : A_x = F \cdot cos(30) = 0

Umstellen ergibt:

A_x = F \cdot cos(30)

Einsetzen ergibt:

A_x = 30 kN \cdot cos(30) = 17,32 kN

 

Vertikale GGB:

\uparrow : A_z + B_z - F \cdot sin(30) = 0

Umstellen ergibt:

A_z + B_z = F \cdot sin(30)

Einsetzen ergibt:

A_z + B_z = 30 kN \cdot cos(30) = 10 kN

 

Momentengleichgewichtsbedingung

Um nun die beiden noch unbekannten Lagerkräfte bestimmen zu können, nutzen wir jetzt die Momentengleichgewichtsbedingung,

Merk’s dir!

Die Position, an welcher die Gleichgewichtsbedingung folglich am logischsten angewendet wird, ist dort wo die meisten unbekannten Kraft aus der Betrachtung herausfallen. 

In unserem Fall ist dies an den Stellen der beiden Lager A und B gegeben. Wählen wir nun das Lager A als unseren Bezugspunkt aus, so fallen die beiden Lagerkräfte aus der Gleichung heraus, zumal deren Wirkungslinie den Bezugspunkt schneiden, wo durch kein Hebelarm wirkt. 

Die Lagerkraft B_z können wir somit berechnen.

 

Der Drehsinn…

Immer wenn du vor einer Aufgabe sitzt, bei welcher das Momentengleichgewicht bestimmt werden soll, musst du den Drehsinn berücksichtigen. Handelt es sich um eine Linksdrehung so geht der Term positiv in den Berechnung ein. Liegt hingegen eine Rechtsdrehung vor, so geht der Term negativ in die Berechnung ein. 

 

Lösung 3: Lagerkräfte ermitteln – Fortsetzung

Momentengleichgewicht am Lager A:

\curvearrowleft A: B_z (l_1 + l_2) + F \cdot cos(30) \cdot a - F \cdot sin(30) \cdot l_1 = 0

Auflösen der Gleichung nach B_z ergibt:

B_z = \frac{- F \cdot cos(30) \cdot a + F \cdot sin(30) \cdot l_1}{(l_1 + l_2)}

Einsetzen der bekannten Größen:

B_z = \frac{- 30 kN \cdot cos(30) \cdot 0,5 + 30 kN \cdot sin(30) \cdot 5}{(5 + 3)}

Als Ergebnis erhalten wir dann:

B_z = 5,17 kN

 

Nachdem wir nun B_z errechnet haben, können wir mit Hilfe der vertikalen Gleichgewichtsbedingung (vertikale GGB) noch die verbliebene unbekannte Größe A_z berechnen.

A_z + B_z = 10 kN

Auflösen nach A_z:

A_z = 10 kN - B_z

Einsetzen des Wertes für B_Z

A_z = 10 kN - 5,17 kN

A_z = 4,83 kN 

 

Merk’s dir!

Der gesamte Balken befindet sich im Gleichgewicht, da 

A_z + B_z = F_z

und

A_x = F_x 

gilt. 

 

Merk’s dir!

Es empfiehlt sich die Schnitte immer an den Stellen zu setzen, dort wo eine Belastungsänderung eintritt. 

Die umfasst Änderungen von 

  • Kräften
  • Momenten

unter anderem durch

  • Gelenke
  • Belastungssprünge
Lösung 4: Schnittgrößen

 

Klausuraufgabe: Einzeichnen der Lagerkräfte und Kraftkomponenten

Nach einem Schnitt lässt sich entweder mit dem linken oder dem rechten Schnittufer rechnen. Die Wahl sollte immer auf die Seite fällen, wo weniger unbekannte Größen zu berechnen sind.

Daher fällt bei einem Schnitt von Stelle 4 unsere Wahl auf das rechte Schnittufer, da hier lediglich F_x und F_z berücksichtigt werden müssen.

Bei linken Schnittufer sind es mit A_x , A_z und B_z hingegen 3 Kräfte. Das Ergebnis ist aber letztlich identisch.

 

Linkes Schnittufer

Dennoch betrachten wir jetzt die Schnittgrößen am linken Schnittufer:

Schnittgrößen am linken Schnittufer
Schnittgrößen am linken Schnittufer

 

Stellen wir nun die Gleichgewichtsbedingungen hierzu auf:

\uparrow : - Q + A_z = 0 \rightarrow  Q = A_z = 4,83 kN

\rightarrow: N + A_x = 0 \rightarrow  N = A_x = -17,32 kN

\curvearrowleft: M = 0 

 

Rechtes Schnittufer

\uparrow :  Q + B_z = 0 \rightarrow  Q = B_z = - 5,17 kN

\rightarrow: - N  = 0 \rightarrow  N = 0

\curvearrowleft: - M = 0 \rightarrow M = 0 

 

Schnitt links am vertikalen Balken

Nun führen wir einen weiteren Schnitt links neben dem senkrechten Balken durch und stellen die Gleichgewichtsbedingung auf.

Schnittgrößen - weiterer Schnitt

\uparrow :  - Q + A_z = 0 \rightarrow  Q = A_z = 4,83 kN

\rightarrow: N + A_x  = 0 \rightarrow  N = - A_x = - 17,32 kN

\curvearrowleft: M - A_z \cdot l_1 = 0 \rightarrow M = 4,83 kN \cdot 5 m = 24,15 kNm 

 

Schnitt rechts am vertikalen Balken

Nun führen wir einen weiteren Schnitt rechts neben dem senkrechten Balken durch und stellen die Gleichgewichtsbedingung auf.

Schnittgrößen - weiterer Schnitt

\uparrow :  Q + B_z = 0 \rightarrow  Q = - B_z = - 5,17 kN

\rightarrow: - N = 0 \rightarrow  N = 0

\curvearrowleft: - M + B_z \cdot l_2 = 0 \rightarrow M = 5,17 kN \cdot 3 m = 15,51 kNm

 

Jetzt sind alle Kräfte im  unteren Balken (horizontal) ermittelt worden. Nun betrachten wir die Kräfte oberhalb vom Balken (vertikal) nachdem wir diesen gedanklich vom unteren Balken getrennt haben.

Schnittgrößen - weiterer Schnitt

\uparrow :  Q + F_x = 0 \rightarrow  Q = - F_x = - 17,32 kN

\rightarrow: - N - F_z = 0 \rightarrow  N = - F_z = - 10 kN

\curvearrowleft: - M + F_x \cdot a = 0 \rightarrow M = 17,32 kN \cdot 0,5 m = 8,66 kNm

 

Gedanklich verlagern wir den Schnitt nun nach oben an die Position 4:

\uparrow :  Q + F_x = 0 \rightarrow  Q = - F_x = - 17,32 kN

\rightarrow: - N - F_z = 0 \rightarrow  N = - F_z = - 10 kN

\curvearrowleft: - M  0 \rightarrow M = 0

 

Mit der Bestimmung der Schnittgrößen schließen wir dieses Beispiel ab.

 

 

Was kommt als Nächstes?

Nachdem wir uns mit dem Zahlenbeispiel für die Biegebeanspruchung befasst haben, gehen wir im kommenden Kurstext auf die Torsion als Form der Beanspruchung ein. 

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