HM1 – Ableitung mittels Kettenregel [Definition, Formel, Beispiele]

Ableitung mittels Kettenregel:

Die Kettenregel wird verwendet, um die Ableitung von zusammengesetzten Funktionen zu bestimmen, wenn eine Funktion in eine andere eingebettet ist. Sie wird angewendet, indem die Ableitung der äußeren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird.

In dieser Lerneinheit behandeln wir die Kettenregel.

Für ein optimales Verständnis helfen dir drei anschauliche Rechenbeispiele zu dem Thema.

Mehr zu diesem Thema und der höheren Mathematik findest du im Kurs: HM1 – Höhere Mathematik 1

Ableitung mittels Kettenregel – Einfach erklärt

Mithilfe der Kettenregel werden zusammengesetzte Funktionen abgleitet. Sie kommt immer dann zum Einsatz, wenn eine Funktion f(x) eine andere Funktion g(x) enthält. Ein typisches Beispiel dafür ist:

$f(x) = \sin(x^2)$

Hierbei ist $\sin$ die äußere Funktion und $x^2$ die innere Funktion. Die Ableitung erfolgt durch die Multiplikation der Ableitungen von innerer und äußerer Funktion.

Gegeben sei eine Funktion in der Form:

$f(x) = h(g(x))$

Hierbei ist h die äußere Funktion und g(x) die innere Funktion. Um die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion zu berechnen, folgen wir diesem Schema:

Kettenregel

$f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)$

In Worten erklärt:

Zuerst leitest du die äußere Funktion h ab, während die innere Funktion g(x) unverändert bleibt.
Danach leitest du die innere Funktion g(x) ab.
Beide Ableitungen werden miteinander multipliziert.

Die Kettenregel wird verwendet, wenn eine Funktion aus einer Zusammensetzung besteht, also eine Funktion eine andere Funktion enthält. In solchen Fällen ist die Ableitung nicht direkt, sondern schrittweise zu berechnen.

Merk’s dir!

Die Kettenregel erleichtert die Ableitung, da sie die Funktion in äußere und innere Teile zerlegt. Erst die äußere Funktion ableiten (mit der inneren unverändert), dann die innere Funktion ableiten und multiplizieren.

Beispiele: Ableitung mittels Kettenregel

Beispiel 1: Ganzrationale Funktionen

Beispiel!

Gegeben sei die Funktion:

$f(x) = (3x^2 + 2)^5$

Bestimme die 1. Ableitung der Funktion!

Hast du eine Klammer mit einem Exponenten > 1 gegeben, so handelt es sich um eine zusammengesetzte Funktion. Du kannst die Klammer auf auflösen und dann die Ableitung bilden oder du wendest die Kettenregel an, die schneller und einfacher ist.

Die äußere Funktion ist dabei die Klammer mit dem Exponenten:

$h = (3x^2 + 2)^5$ Äußere Funktion

Die Funktion in der Klammer ist die innere Funktion. Diese wird bei Berechnung der Ableitung h’ als Konstante gesehen. Die innere Funktion lautet demnach:

$g(x) = 3x^2 + 2$ Innere Funktion

Wir leiten nun beide Funktionen ab. Wir beginnen mit der äußeren Funktion. Wichtig ist hier, dass die innere Funktion einfach als Konstante gesehen wird. Dafür substituierst du z.B. g = 3x² + 2:

$h(g) = g^5$

Du leitest nun die Klammer nach der Produktregel ab:

$h'(g) = 5 \cdot g^4$

Du kannst nun die Substitution rückgängig machen (g = 3x² +2):

$h' = 5 \cdot (3x^2 + 2)^4$

Als nächstes leitest du die innere Funktion ab:

$g'(x) = 6x$

Nachdem du beide Ableitungen ermittelt hast, multiplizierst du diese miteinander:

$f'(x) = h' \cdot g'(x) = 5 \cdot (3x^2 + 2)^4 \cdot 6x$

$f'(x) = 30x \cdot (3x^2 + 2)^4$

Merk’s dir!

Erst die äußere Funktion ableiten und die innere dabei unverändert lassen, dann mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

Beispiel 2: Wurzelfunktion und ganzrationale Funktion

Beispiel!

Gegeben sei die Funktion:

$f(x) = \sqrt{2x^3 + 1}$

Bestimme die 1. Ableitung der Funktion!

Wir haben hier eine Wurzelfunktion (äußere Funktion) und eine ganzrationale Funktion (innere Funktion) gegeben:

Äußere Funktion: $h(g) = \sqrt{g} = g^{\frac{1}{2}}$

Innere Funktion: $g(x) = 2x^3 + 1$

Wir bilden die Ableitungen der beiden Funktionen:

Äußere Funktion: $h'(g) = \frac{1}{2} \cdot g^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot g^{-\frac{1}{2}}$

Wir ersetzen g = 2x³ +1:

$h'(g(x)) = \frac{1}{2} \cdot (2x^3 + 1)^{-\frac{1}{2}}$

Innere Funktion: $g'(x) = 6x^2$

Wir multiplizieren beide Ableitungen miteinander:

$f'(x) = h'(g(x)) \cdot g(x) = \frac{1}{2} \cdot (2x^3 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2$

$f'(x) = (2x^3 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3x^2$

$f'(x) = \dfrac{3x^2}{(2x^3 + 1)^{\frac{1}{2}}}$

$f'(x) = \dfrac{3x^2}{\sqrt{2x^3 + 1}}$

Beispiel 3: Logarithmusfunktion und ganzrationale Funktion

Beispiel!

Gegeben sei die Funktion:

$f(x) = \ln(5x^3 + 3x)$

Bestimme die 1. Ableitung der Funktion!

Um die Ableitung dieser Funktion zu berechnen, wenden wir die Kettenregel an, da wir eine Funktion im Logarithmus haben und der Logarithmus selbst eine äußere Funktion ist, während der Ausdruck $5x^3 + 3x$ die innere Funktion darstellt.

Äußere Funktion: $h(g) = \ln(g)$ mit $g=5x^3+3x$

Innere Funktion: $g(x) = 5x^3 + 3x$

Als nächstes leiten wir die beiden Funktionen ab:

$h'(g) = \frac{1}{g} = \dfrac{1}{5x^3+3x}$

$g'(x) = 15x^2 + 3$

Anschließend multiplizieren wir beide Ableitungen miteinander:

$f'(x) = h'(g) \cdot g'(x)$

$f'(x) = \dfrac{1}{5x^3+3x} \cdot (15x^2 + 3)$

$f'(x) = \dfrac{15x^2 + 3}{5x^3+3x}$

Mögliche Fragestellungen | Häufig gestellte Fragen (FAQs)

Wann wird die Kettenregel angewendet?

Die Kettenregel wird bei Funktionen verwendet, die als Zusammensetzung mehrerer Funktionen vorliegen, z. B.

Was ist eine zusammengesetzte Funktion?

Eine zusammengesetzte Funktion entsteht, wenn eine Funktion eine andere Funktion enthält, z.B. ln(x²). Hierbei ist er Logarithmus die äußere Funktion und die quadratische Funktion die innere Funktion.

Wie wird die Kettenregel angewendet?

Du leitest die äußere und innere Funktion ab und multiplizierst die beiden Ableitungen miteinander. Bei der Ableitung der äußeren Funktion betrachtest du die innere Funktion als Konstante.

Kann ich die Kettenregel auch bei mehreren Verschachtelungen anwenden?

Ja, die Kettenregel kann auf beliebig viele verschachtelte Funktionen angewendet werden.

Gibt es alternative Methoden zur Ableitung?

In manchen Fällen kann man die Klammern auflösen oder Substitutionen verwenden, die Kettenregel ist jedoch oft der schnellere Weg.

Warum ist die Kettenregel wichtig?

Die Kettenregel ist essentiell, um komplexe Funktionen effizient und korrekt abzuleiten, insbesondere in der höheren Mathematik.

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