(ET5-23) Komplexe Wechselstromschaltungen – Komplexe Leistung

In diesem Kurstext erklären wir dir die komplexe Leistung, sowie die Formen von Wirkleistung, Scheinleistung und Blindleistung. 

Komplexe Leistung – Grundlagen

“Die komplexe Leistung ist wie die komplexe Spannung oder die komplexe Stromstärke eine Rechengröße der Wechselstromtechnik. Sie fasst verschiedene Leistungskennwerte bei einem Wechselstrom zu einem Wert zusammen.” 

Der errechnete Wert ist dann auch konform mit der Symbolischen Methode der komplexen Wechselstromrechnung. Denn es handelt sich bei dem Wert der komplexen Leistung um eine komplexe Zahl. 

Komplexe Leistung – Problematik

Es zeigt sich, dass die komplexe Wechselstromtechnik lediglich für lineare Rechenoperationen anwendbar ist. Soll hingegen eine Multiplikation von komplexer Spannung und komplexen Strom erfolgen funktioniert die Rechnung nicht mehr sinnvoll.

Denn, anders als die Momentanleistung (errechnet aus dem Produkt von ) oder die Scheinleistung (errechnet aus dem Produkt von ) hat das Produkt ebenso wie das Produkt der komplexen Effektivwerte keine sinnvolle Verwendung für uns. 

Im Normalfall würde man davon ausgehen, dass nachfolgendes Produkt zur richtigen Ergebnis führt. Stellt man diese Gleichung jedoch in der Polarform dar, so ist direkt ersichtlich, dass der Phasenwinkel der Leistung der Summe von entspricht. Die Gesamte Gleichung sähe dann wie folgt aus:

– Leider ist dies nicht korrekt. Denn als Phasenwinkel muss die Differenz erscheinen mit

Multipliziert man jetzt aber  die komplexe Spannung nicht mit dem komplexen Strom sondern mit einen konjugiert komplexen Strom, so führt das dazu, dass sich die zeitabhängigen Bestandteile sowie gegenseitig aufheben. Dadurch geht nur die gegenseitige Phasenverschiebung in die Berechnung ein. 

Komplexe Leistung – Definition

Jetzt zeigen wir dir, dass man die komplexe Leistung über unterschiedliche Wert ermitteln kann. 

Produkt aus komplexen Effektivwert der Spannung und konjugiert komplexen Effektivwert des Stroms

Ausgehend von der obigen Problematik können wir für die Definition der komplexen Leistung festhalten, dass sich aus dem Produkt aus dem komplexen Effektivwert der Spannung und dem konjugiert komplexen Effektivwert des Stroms errechnet. Formal sieht das dann wie folgt aus:

oder ausgeschrieben:

Halbes Produkt aus komplexer Amplitude der Spannung und konjugiert komplexer Amplitude des Stroms

Dabei zeigt sich, dass die Amplituden um größer sind als die Effektivwerte. Aus diesem Grund entspricht die komplexe Leistung dem halben Produkt aus komplexer Amplitude der Spannung und konjugiert komplexer Amplitude des Stroms. Das äußert sich formal wie folgt:

\quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = \frac{\underline{\hat{u}} \cdot \underline{\hat{i}}}{2} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = \underline{U} \cdot \underline{I}^{*}} \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = (U \cdot e^{+ j \cdot \varphi_u}) \cdot (I \cdot e^{i j \cdot \varphi_i}) } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = U \cdot I \cdot e^{j \cdot (\varphi_u – \varphi_i)} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = U \cdot I \cdot ( cos(\varphi_u – \varphi_i) + j \cdot sin(\varphi_u – \varphi_i)} \varphi = \varphi_u – \varphi_i S = U \cdot I \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = U \cdot I \cdot e^{j \cdot (\varphi_u – \varphi_i)} \longrightarrow  \underline{S} = S \cdot e^{j \cdot (\varphi_u – \varphi_i)} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = S \cdot e^{j \cdot (\varphi_u – \varphi_i)} \longrightarrow \underline{S} = S \cdot e^{j \cdot \varphi} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = S \cdot e^{j \cdot \varphi} \longrightarrow \underline{S} = S \cdot (cos \varphi + j sin \varphi) } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = P + j \cdot Q } P \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ P = Re \underline{S} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ P = S \cdot cos \varphi} \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ P = U \cdot I \cdot cos \varphi} Q \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ Q = Im \underline{S} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ Q = S \cdot sin \varphi} \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ Q = U \cdot I \cdot sin \varphi} S \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ S = |\underline{S}| = U \cdot I = \sqrt{P^2 + Q^2}} \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ S = \sqrt{(S \cdot cos \varphi)^2 + (S \cdot sin \varphi)^2} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{S = \sqrt{S^2 \cdot (( cos \varphi)^2) + ( sin \varphi)^2)}} \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ S = \sqrt{(U \cdot I)^2 \cdot (( cos \varphi)^2) + ( sin \varphi)^2)} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \hat{u} = 10 V } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \hat{i} = 8 A } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \varphi_u = – 30 ^{\circ} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \varphi_i = 0 ^{\circ} }\underline{S} \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = \frac{80 VA}{2} \cdot e^{j \cdot 30 ^{\circ}} = 40 VA \cdot e^{j \cdot 30 ^{\circ}} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = 40 VA \cdot (cos(-30^{\circ}) + j \cdot sin(-30^{\circ})) \approx 34,64 W – j \cdot 20 var } P = 34,64 W Q = -20 var \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{U} = \underline{Z} \cdot \underline{I} = \frac{\underline{I}}{\underline{Y}}} \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{\underline{S} = \underline{Z} \cdot I^2 = \frac{I^2}{\underline{Y}} = \frac{\underline{Z} \cdot \hat{i}^2}{2} = \frac{\hat{i}^2}{2 \underline{Y}} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{I} = \underline{Y} \cdot \underline{U} = \frac{\underline{U}}{\underline{Z}}} \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{\underline{S} = \underline{Y}^{*} \cdot U^2 = \frac{U^2}{\underline{Z}^{*}} = \frac{\underline{Y}^{*} \cdot \hat{u}^2}{2} = \frac{\hat{u}^2}{2 \underline{Z}^{*}} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ P = Re \ \underline{S} = I^2 \cdot Re \ \underline{Z}= U^2 \cdot Re \ \underline{Y} = \frac{\hat{i}^2}{2} \cdot Re \ \underline{Z} = \frac{\hat{u}^2}{2} \cdot Re \ \underline{Y} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ Q = Im \ \underline{S} = I^2 \cdot Im \ \underline{Z} = – U^2 \cdot Im \ \underline{Y} = \frac{\hat{i}^2}{2} \cdot Im \ \underline{Z} = – \frac{\hat{u}^2}{2} \cdot Im \ \underline{Y} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ S = |\underline{S}| = I^2 \cdot | \underline{Z} | = U^2 \cdot |\underline{Y}| = \frac{U^2}{|\underline{Z}|} = \frac{I^2}{|\underline{Y}|} = \frac{\hat{i}^2}{2} \cdot |\underline{Z}| = \frac{\hat{u}^2}{2} \cdot |\underline{Y}| = \frac{\hat{u}^2}{2 \cdot |\underline{Z}} = \frac{\hat{i}^2}{2 \cdot |\underline{Y}}} \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = u(t) \cdot i(t) = Re \ \underline{u} \cdot Re \ \underline{i} } Re \ \underline{a} = \frac{1}{2} (\underline{a} + \underline{a}^*) \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = (\frac{1}{2} ( \underline{u} + \underline{u}^*) \cdot (\frac{1}{2} \underline{i} + \underline{i}^*) } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{p(t) = (\frac{1}{4} (\underline{u} + \underline{u}^*) \cdot (\underline{i} + \underline{i}^*) } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = \frac{1}{4} (\underline{u} \cdot \underline{i}^* + \underline{u}^* \cdot \underline{i} + \underline{u} \cdot \underline{i} + \underline{u}^* \cdot \underline{i}^*)} \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = \frac{1}{2} Re \ (\underline{u} \cdot \underline{i}^* + \underline{u} \cdot \underline{i}) = \frac{1}{2} Re \ ( \hat{u} \cdot \hat{i}  \cdot e^{j (\varphi_u – \varphi_i)} + \frac{1}{2} Re ( \hat{u} \cdot \hat{i} \cdot e^{j (2 \cdot \omega \cdot t + \varphi_u + \varphi_i)} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{p(t) = Re \ (\underline{U} \cdot \underline{I}^* + \underline{U} \cdot \underline{I} \cdot e^{j \cdot 2 \cdot \omega \cdot t}) } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = Re \ (\underline{U} \cdot \underline{I}^* + \underline{U} \cdot \underline{I} \cdot e^{j \cdot 2 \cdot ( \omega \cdot t + \varphi_i)} } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = Re [\underline{U} \cdot \underline{I}^* ( 1 + e^{j \cdot 2(\omega \cdot t + \varphi_i)})] } \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = Re [\underline{S} ( 1 + e^{j \cdot 2(\omega \cdot t + \varphi_i)})] }}$

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