(ET5-23) Komplexe Wechselstromschaltungen – Komplexe Leistung

Inhaltsverzeichnis

In diesem Kurstext erklären wir dir die komplexe Leistung, sowie die Formen von Wirkleistung, Scheinleistung und Blindleistung

 

Komplexe Leistung - Scheinleistung, Blindleistung, Wirkleistung
Komplexe Leistung – Scheinleistung, Blindleistung, Wirkleistung

 


Komplexe Leistung – Grundlagen


“Die komplexe Leistung \underline{S} ist wie die komplexe Spannung oder die komplexe Stromstärke eine Rechengröße der Wechselstromtechnik. Sie fasst verschiedene Leistungskennwerte bei einem Wechselstrom zu einem Wert zusammen.” 

Der errechnete Wert ist dann auch konform mit der Symbolischen Methode der komplexen Wechselstromrechnung. Denn es handelt sich bei dem Wert der komplexen Leistung um eine komplexe Zahl. 

 


Komplexe Leistung – Problematik


Es zeigt sich, dass die komplexe Wechselstromtechnik lediglich für lineare Rechenoperationen anwendbar ist. Soll hingegen eine Multiplikation von komplexer Spannung und komplexen Strom erfolgen funktioniert die Rechnung nicht mehr sinnvoll.

Denn, anders als die Momentanleistung (errechnet aus dem Produkt von u(t) \cdot i(t)) oder die Scheinleistung (errechnet aus dem Produkt von U \cdot I) hat das Produkt \underline{u}(t) \cdot \underline{i}(t) ebenso wie das Produkt der komplexen Effektivwerte \underline{U} \cdot \underline{I} keine sinnvolle Verwendung für uns. 

 

Falsche Vorgehensweise:

Im Normalfall würde man davon ausgehen, dass nachfolgendes Produkt \underline{S} = \underline{U} \cdot \underline{S} zur richtigen Ergebnis führt. Stellt man diese Gleichung jedoch in der Polarform dar, so ist direkt ersichtlich, dass der Phasenwinkel der Leistung der Summe von \varphi_u + \varphi_i entspricht. Die Gesamte Gleichung sähe dann wie folgt aus:

 \boxed{ \underline{S} = U \cdot I \cdot e^{\varphi_u + \varphi_i} }Leider ist dies nicht korrekt. Denn als Phasenwinkel muss die Differenz erscheinen mit \varphi = \varphi_u - \varphi_i

 

Richtige Vorgehensweise:

Multipliziert man jetzt aber  die komplexe Spannung nicht mit dem komplexen Strom sondern mit einen konjugiert komplexen Strom, so führt das dazu, dass sich die zeitabhängigen Bestandteile e^{j \cdot \omega \cdot t} sowie e^{- j \cdot \omega \cdot t} gegenseitig aufheben. Dadurch geht nur die gegenseitige Phasenverschiebung in die Berechnung ein. 

 \boxed{\underline{S} = U \cdot I \cdot e^{\varphi_u - \varphi_i}}

 


Komplexe Leistung – Definition


Jetzt zeigen wir dir, dass man die komplexe Leistung über unterschiedliche Wert ermitteln kann. 

 


Produkt aus komplexen Effektivwert der Spannung und konjugiert komplexen Effektivwert des Stroms


Ausgehend von der obigen Problematik können wir für die Definition der komplexen Leistung festhalten, dass sich \underline{S} aus dem Produkt aus dem komplexen Effektivwert der Spannung \underline{U} und dem konjugiert komplexen Effektivwert des Stroms \underline{I}^{*} errechnet. Formal sieht das dann wie folgt aus:

 \boxed{ \underline{S} = \underline{U} \cdot \underline{I}^{*} }

oder ausgeschrieben:

 \boxed{ \underline{S} = (U \cdot e^{j \cdot \varphi_u}) \cdot (I \cdot e^{j \cdot \varphi_i})}

 


Halbes Produkt aus komplexer Amplitude der Spannung und konjugiert komplexer Amplitude des Stroms


Dabei zeigt sich, dass die Amplituden um \sqrt{2} größer sind als die Effektivwerte. Aus diesem Grund entspricht die komplexe Leistung dem halben Produkt aus komplexer Amplitude der Spannung und konjugiert komplexer Amplitude des Stroms. Das äußert sich formal wie folgt:

\quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = \frac{\underline{\hat{u}} \cdot \underline{\hat{i}}}{2} }   <hr /> <h2><em><strong>Komplexe Leistung - Berechnung</strong></em></h2> <hr /> Für die Berechnung der komplexen Leistung schauen wir uns zunächst die <strong>ausführliche Schreibweise</strong> an, die alle <strong>Darstellungen</strong> beinhaltet. \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = \underline{U} \cdot \underline{I}^{*}}  dies entspricht: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = (U \cdot e^{+ j \cdot \varphi_u}) \cdot (I \cdot e^{i j \cdot \varphi_i}) } zusammengefasst: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = U \cdot I \cdot e^{j \cdot (\varphi_u – \varphi_i)} } umformuliert gilt: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = U \cdot I \cdot ( cos(\varphi_u – \varphi_i) + j \cdot sin(\varphi_u – \varphi_i)}    Da \varphi = \varphi_u – \varphi_i gilt und S = U \cdot I , formen wir die bisherigen Gleichungen weiter um zu: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = U \cdot I \cdot e^{j \cdot (\varphi_u – \varphi_i)} \longrightarrow  \underline{S} = S \cdot e^{j \cdot (\varphi_u – \varphi_i)} } sowie  \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = S \cdot e^{j \cdot (\varphi_u – \varphi_i)} \longrightarrow \underline{S} = S \cdot e^{j \cdot \varphi} } das wiederum ergibt: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = S \cdot e^{j \cdot \varphi} \longrightarrow \underline{S} = S \cdot (cos \varphi + j sin \varphi) } Im letzen Schritt nehmen wir dann noch die Aufteilung zwischen Realteil und Imaginärteil vor und erhalten: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = P + j \cdot Q }    <blockquote> [intense_icon source="captain-icon" type="021" size="3" color="#0951ed"] <strong>"Hier zeigt sich, dass die drei bekannten Kenngrößen der Leistung (Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung) aus der Wechselstromtechnik mit der komplexen Leistung in Verbindung stehen"</strong> </blockquote>   <hr /> <h3><em><strong>Komplexe Leistung - Realteil (Wirkleistung)</strong></em></h3> <hr /> Die Wirkleistung Pist der Realteil. Die Berechnung ist folgende: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ P = Re \underline{S} } bzw. \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ P = S \cdot cos \varphi}  das entspricht \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ P = U \cdot I \cdot cos \varphi}     <hr /> <h3><em><strong>Komplexe Leistung - Imaginärteil (Blindleistung)</strong></em></h3> <hr /> Die Blindleistung Q ist der Imaginärteil. Die Berechnung ist folgende: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ Q = Im \underline{S} } bzw. \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ Q = S \cdot sin \varphi}  das entspricht \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ Q = U \cdot I \cdot sin \varphi}     <hr /> <h3><em><strong>Komplexe Leistung - Betrag (Scheinleistung)</strong></em></h3> <hr /> Die Scheinleistung S ist hingegen der Betrag. Hier hat die Berechnung folgende Form: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ S = |\underline{S}| = U \cdot I = \sqrt{P^2 + Q^2}}   bzw. \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ S = \sqrt{(S \cdot cos \varphi)^2 + (S \cdot sin \varphi)^2} } also \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{S = \sqrt{S^2 \cdot (( cos \varphi)^2) + ( sin \varphi)^2)}}  oder halt vollständig ausgeschrieben: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ S = \sqrt{(U \cdot I)^2 \cdot (( cos \varphi)^2) + ( sin \varphi)^2)} }   <hr /> <h2><em><strong>Komplexe Leistung - Darstellung im Zeigerbild</strong></em></h2> <hr /> In der komplexen Ebene bilden die Leistungsgrößen ein Dreieck. Dabei liegt die Wirkleistung P in der reellen Achse und die Blindleistung in der gleichen Richtung wie die imaginäre Achse.   [caption id="attachment_21336" align="alignnone" width="1280"]<img class="wp-image-21336 size-full" src="https://technikermathe.de/wp-content/uploads/2020/12/ET5-20-Ohmsches-Gesetz-im-komplexen-bereich-2-1.jpg" alt="Komplexe Leistung - Zeigerdiagramm" width="1280" height="720" /> Komplexe Leistung - Zeigerdiagramm[/caption]      <hr /> <h2><em><strong>Komplexe Leistung - Beispiel</strong></em></h2> <hr /> [su_box title="undefiniert" box_color="#f7f30c" title_color="#f7f30c" radius="5"] [su_service title="Beispiel: Amplituden " icon="icon: hand-peace-o" icon_color="#f7f30c"] Jetzt rechnen wir die <strong>komplexe Leistung</strong> unter Angabe der Amplituden für die Spannung und den Strom aus und bestimmen zusätzlich die <strong>Wirkleistung</strong> und die <strong>Blindleistung</strong>. [/su_service] [/su_box]   <hr /> <h3><em><strong>Aufgabenstellung</strong></em></h3> <hr /> Gegeben sind uns folgende Werte: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \hat{u} = 10 V }Amplitude der Spannung \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \hat{i} = 8 A }Amplitude des Stroms \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \varphi_u = – 30 ^{\circ} }Nullphasenwinkel der Spannung \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \varphi_i = 0 ^{\circ} }Nullphasenwinkel des Stroms   Jetzt müssen wir die komplexe Leistung\underline{S} berechnen.   <hr /> <h3><em><strong>Lösung</strong></em></h3> <hr /> Hierzu berücksichtigen wir, dass die Amplituden noch durch den Faktor 2 dividiert werden müssen: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = \frac{80 VA}{2} \cdot e^{j \cdot 30 ^{\circ}} = 40 VA \cdot e^{j \cdot 30 ^{\circ}} } das entspricht \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{S} = 40 VA \cdot (cos(-30^{\circ}) + j \cdot sin(-30^{\circ})) \approx 34,64 W – j \cdot 20 var }   Die <strong>Wirkleistung</strong> hat somit den Wert P = 34,64 W . Die <strong>Blindleistung</strong> hat den Wert Q = -20 var [Voltampere reactive]   <hr /> <h2><em><strong>Komplexe Leistung an passiven Zweipolen</strong></em></h2> <hr /> Jetzt untersuchen wir zwei unterschiedliche Fälle, bei denen uns <ol> 	<li><strong>Werte von Stromstärke, Impedanz oder Admittanz vorliegen</strong></li> 	<li><strong>Werte von Spannung, Impedanz oder Admittanz vorliegen</strong></li> </ol> Im Anschluss folgen dann noch die <strong>Gleichungen</strong> von <strong>Blindleistung</strong>, <strong>Scheinleistung</strong> und <strong>Wirkleistung</strong> für den <strong>passiven linearen Zweipol</strong>   <hr /> <h3><em><strong>Stromstärke, Impedanz oder Admittanz</strong></em></h3> <hr /> Ist ein linearer passiver Zweipol gegeben und liegen uns dazu die Werte von Stromstärke, Impedanz oder Admittanz vor, so können wir unter zur Hilfenahme des Verbrauchspfeilsystems mit \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{U} = \underline{Z} \cdot \underline{I} = \frac{\underline{I}}{\underline{Y}}} Für die komplexe Leistung folgende Gleichung verwenden:  \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{\underline{S} = \underline{Z} \cdot I^2 = \frac{I^2}{\underline{Y}} = \frac{\underline{Z} \cdot \hat{i}^2}{2} = \frac{\hat{i}^2}{2 \underline{Y}} }   <hr /> <h3><em><strong> Spannung, Impedanz oder Admittanz</strong></em></h3> <hr /> Ist ein linearer passiver Zweipol gegeben und liegen uns dazu die Werte von Spannung, Impedanz oder Admittanz vor, so können wir unter zur Hilfenahme des Verbrauchspfeilsystems mit \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ \underline{I} = \underline{Y} \cdot \underline{U} = \frac{\underline{U}}{\underline{Z}}}  Für die komplexe Leistung folgende Gleichung verwenden: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{\underline{S} = \underline{Y}^{*} \cdot U^2 = \frac{U^2}{\underline{Z}^{*}} = \frac{\underline{Y}^{*} \cdot \hat{u}^2}{2} = \frac{\hat{u}^2}{2 \underline{Z}^{*}} }   <hr /> <h3><em><strong>Wirkleistung, Blindleistung & Scheinleistung</strong></em></h3> <hr /> Die Gleichungen für die Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung sind nachfolgend aufgeführt:   <strong>Wirkleistung:</strong> \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ P = Re \ \underline{S} = I^2 \cdot Re \ \underline{Z}= U^2 \cdot Re \ \underline{Y} = \frac{\hat{i}^2}{2} \cdot Re \ \underline{Z} = \frac{\hat{u}^2}{2} \cdot Re \ \underline{Y} }   <strong>Blindleistung:</strong> \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ Q = Im \ \underline{S} = I^2 \cdot Im \ \underline{Z} = – U^2 \cdot Im \ \underline{Y} = \frac{\hat{i}^2}{2} \cdot Im \ \underline{Z} = – \frac{\hat{u}^2}{2} \cdot Im \ \underline{Y} }   <strong>Scheinleistung:</strong> \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ S = |\underline{S}| = I^2 \cdot | \underline{Z} | = U^2 \cdot |\underline{Y}| = \frac{U^2}{|\underline{Z}|} = \frac{I^2}{|\underline{Y}|} = \frac{\hat{i}^2}{2} \cdot |\underline{Z}| = \frac{\hat{u}^2}{2} \cdot |\underline{Y}| = \frac{\hat{u}^2}{2 \cdot |\underline{Z}} = \frac{\hat{i}^2}{2 \cdot |\underline{Y}}}    <hr /> <h2><em><strong>Komplexe Leistung versus Momentanleistung</strong></em></h2> <hr /> Möchte man sich den Energiefluss innerhalb eines Zweipol genauer anschauen, so hilft hier die Kenntnis der Momentanleistung. Es handelt sich bei diesem Wert um den Momentanwert. Ermittelt wird dieser Wert als Ergebnis aus der Multiplikation der Momentanwerte von elektrischer Spannung und elektrischer Leistung.    Da es sich um reelle Werte handelt nutzen wir nachfolgend die Kosinusschreibweise. \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = u(t) \cdot i(t) = Re \ \underline{u} \cdot Re \ \underline{i} } <strong>Ausgehend von der Beziehung</strong> Re \ \underline{a} = \frac{1}{2} (\underline{a} + \underline{a}^*) können wir alternativ schreiben: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = (\frac{1}{2} ( \underline{u} + \underline{u}^*) \cdot (\frac{1}{2} \underline{i} + \underline{i}^*) } Ausmultiplizieren ergibt im ersten Schritt: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{p(t) = (\frac{1}{4} (\underline{u} + \underline{u}^*) \cdot (\underline{i} + \underline{i}^*) } Danach fassen multiplizieren wir die Klammern miteinander: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = \frac{1}{4} (\underline{u} \cdot \underline{i}^* + \underline{u}^* \cdot \underline{i} + \underline{u} \cdot \underline{i} + \underline{u}^* \cdot \underline{i}^*)}   Formulieren wir jetzt wieder Realteil, so ändert sich unsere Gleichung zu: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = \frac{1}{2} Re \ (\underline{u} \cdot \underline{i}^* + \underline{u} \cdot \underline{i}) = \frac{1}{2} Re \ ( \hat{u} \cdot \hat{i}  \cdot e^{j (\varphi_u – \varphi_i)} + \frac{1}{2} Re ( \hat{u} \cdot \hat{i} \cdot e^{j (2 \cdot \omega \cdot t + \varphi_u + \varphi_i)} }   Die Darstellung dieser Gleichung mit den Effektivwerten hat folgende Erscheinung: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{p(t) = Re \ (\underline{U} \cdot \underline{I}^* + \underline{U} \cdot \underline{I} \cdot e^{j \cdot 2 \cdot \omega \cdot t}) } das entspricht \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = Re \ (\underline{U} \cdot \underline{I}^* + \underline{U} \cdot \underline{I} \cdot e^{j \cdot 2 \cdot ( \omega \cdot t + \varphi_i)} } und letztlich: \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = Re [\underline{U} \cdot \underline{I}^* ( 1 + e^{j \cdot 2(\omega \cdot t + \varphi_i)})] } Wenn du jetzt genau hinsieht, dass fällt dir bestimmt auf, dass wir jetzt eine Gleichung vorliegen haben, die den Zusammenhang zwischen der Momentanleistung und der komplexen Leistung herstellt. Dann das Produkt aus Spannung und Strom ergibt ja die Leistung.  \quicklatex{color=”#1ccc0c” size=25} \boxed{ p(t) = Re [\underline{S} ( 1 + e^{j \cdot 2(\omega \cdot t + \varphi_i)})] }}$

 

undefiniert
Und warum haben wir das jetzt gemacht?....

Diese Gleichung hat den Vorteil, dass wir die Momentanleistung bestimmen können, ohne auf die Additionstheoreme der Kreisfunktionen zurückgreifen zu müssen.

 



wie gehts weiter?
Nachdem du jetzt weißt, was es mit dem Thema Komplexe Leistung im komplexen Bereich auf sich hat, starten wir im kommenden Kurstext damit, dir die Anwendungsbereiche für die komplexen Bereiche zu erklären. 

 

Trainingsbereich

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