(ET5-21) Komplexe Wechselstromschaltungen – Ohmsches Gesetz

Inhaltsverzeichnis

In diesem Kurstext stellen wir dir kurz das Thema Ohmsches Gesetz im komplexen Bereich vor und erklären dir, wie sich die komplexen Größen Strom und Spannung in diesem Zusammenhang verhalten und nutzen lassen um den komplexen Widerstand und den komplexen Leitwert für einen Ohmschen Widerstand, einen Kondensator und eine Spule zu ermitteln.

 

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Ohmsches Gesetz im komplexen Bereich
Ohmsches Gesetz im komplexen Bereich

 


Ohmsches Gesetz – Überblick


Das Ohmsche Gesetz ist ja bekanntlich eines der einfachsten und gleichzeitig wichtigsten Grundgesetze in der Elektrotechnik. Egal ob Gleichstromtechnik oder Wechselstromtechnik, dieses Gesetz taucht immer wieder auf. 

In der Allgemeinen Form hat es folgende Erscheinung:

 \boxed{ R = \frac{U}{I} } Ohmsches Gesetz für den Elektrischen Widerstand

 \boxed{ U = R \cdot I } Ohmsches Gesetz für die Elektrische Spannung

 \boxed{ I = \frac{U}{R} } Ohmsches Gesetz für dir Elektrische Stromstärke

 

 

“Ziel dieses Kurstextes besteht darin, dir zu erklären wir dieses Gesetz im komplexen Bereich genutzt werden kann. Man spricht in diesem Zusammenhang vom Ohmschen Gesetz des Wechselstromkreises oder gelegentlich auch vom Ohmschen Gesetz der Wechselstromtechnik.”

 

Dazu müssen wir uns kurz vor Augen halten, wodurch sich eine komplexe Gleichung auszeichnet. Es müssen immer zwei voneinander nicht abhängige Aussagen erfüllt sein. Die Trennung der Aussagen erfolgt mit Hilfe von reellen Gleichungen für

  1. Zeigerlänge und Phasenwinkel
  2. Realteil und Imaginärteil.

 


Ohmsches Gesetz – Komplexer Widerstand


Bildet man den Quotienten aus elektrischer Spannung und elektrischen Strom, so erhält man daraus eine konstante Größe, die im Wechselstromkreis als komplexer Widerstand \underline{Z} oder als Impedanz bezeichnet wird. 

 

 \boxed{ \underline{Z} = \frac{\underline{U}}{\underline{I}} }

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Auch diese konstante Größe lässt sich in der komplexen Ebene als Zeiger darstellen nur mit dem Unterschied, dass sie im Gegensatz zu Darstellung von komplexen Strom und komplexer Spannung als zeitunabhängige Größe nicht rotiert. 

 

Ohmsches Gesetz - Zeigerdiagramm eines Widerstandes
Ohmsches Gesetz – Zeigerdiagramm eines Widerstandes

 

 

Wir unterscheiden wieder zwischen den beiden Ansätzen

 


Zeigerlänge und Phasenwinkel


Hier sieht die Gleichung wie folgt aus:

 \boxed{ \underline{Z} = \frac{\underline{u}}{\underline{i}} }

bzw.

 \boxed{\underline{Z} = \frac{\hat{u} \cdot e^{j \cdot (\omega \cdot t + \varphi_u)}}{\hat{i}\cdot e^{j \cdot (\omega \cdot t + \varphi_i)}}}

Aus der Anpassung der Gleichung ergibt sich dann

 \boxed{\underline{Z} = \frac{\hat{u}}{\hat{i}} \cdot e^{j \cdot (\varphi_u - \varphi_i}}

 


Realteil und Imaginärteil


Die Gleichung für den Realteil und den Imaginärteil hat folgende Erscheinung:

 \boxed{ \underline{Z} = R + j \cdot X}

 

R ist der Wirkwiderstand (Resistanz), X ist der Blindwiderstand (Reaktanz) und Z ist der Scheinwiderstand.

 

undefiniert
Aaah, ich erinnere mich....

Die Vorsilbe “Wirk” bezeichnet den Realteil und die Vorsilbe “Blind” drückt den Imaginärteil aus. Mit “Schein” beschreiben wir den Betrag der Größe. 

 

 


Ohmsches Gesetz – Komplexer Leitwert


Bildet man den Kehrwert der Impedanz, so erhält man als Ergebnis den komplexen Leitwert. Diesen bezeichnet man auch als Admittanz oder Leitwertoperator.

 

 \boxed{ \underline{Y} = \frac{1}{\underline{Z}} }

Diese Entspricht dann ebenfalls:

 \boxed{ \underline{Y} = \frac{\underline{I}}{\underline{U}} }

 


Zeigerlänge und Phasenwinkel


Hier sieht die Gleichung wie folgt aus:

 \boxed{ \underline{Y} = \frac{\underline{i}}{\underline{u}} } 

bzw.

 \boxed{\underline{Y} = \frac{\hat{i}\cdot e^{j \cdot (\omega \cdot t + \varphi_i)}}{\hat{u} \cdot e^{j \cdot (\omega \cdot t + \varphi_u)}}}

Aus der Anpassung der Gleichung ergibt sich dann

 \boxed{\underline{Z} = \frac{\hat{i}}{\hat{u}} \cdot e^{j \cdot (\varphi_i - \varphi_u}}

 


Realteil und Imaginärteil


Die Gleichung für den Realteil und den Imaginärteil hat folgende Erscheinung:

 

 \boxed{\underline{Y} = G + j \cdot B }

 

G ist der Wirkleitwert (Konduktanz), B ist der Blindleitwert (Suszeptanz) und Y ist der Scheinleitwert.

 


Ohmsches Gesetz – Elektrische Bauteile


Jetzt schauen wir uns das ganze Mal für die drei bekannten elektrischen Bauteile Ohmsche Widerstand, Kondensator und Spule genauer an. 

 


Ohmsches Gesetz – Ohmscher Widerstand


Verwenden wir in der Gleichung für den Ohmschen Widerstand anstelle von u und i Zeiger, so erhalten wir die Gleichung:

 

 \boxed{ \frac{\underline{u}}{\underline{i}} = R }

 

R ist ein reelle Größe. Aus diesem Grund gilt für die Phasenwinkel von Strom und Spannung

 \boxed{ \varphi_u - \varphi_i = 0 }

Denn es gilt:

 \boxed{ \varphi_u = \varphi_i }

Da bedeutet, dass die Zeiger \underline{u} und \underline{i} die gleichen Nullphasenwinkel am Ohmschen Widerstand aufweisen und somit gleichphasig sind. 

 


Komplexer Widerstand am Ohmschen Widerstand (Ohmsches Gesetz)


Der zugehörige komplexe Widerstand hat dann die Form:

 \boxed{ \underline{Z}_R = R = \frac{\underline{u}}{\underline{i}} }

bzw.

 \boxed{ \underline{Z}_R = \frac{\underline{\hat{U}}}{\underline{\hat{I}}} }

 

Oder in Versordarstellung:

 \boxed{ \underline{Z}_R = \frac{\hat{u}}{\hat{i}} \angle 0\text{°} = \frac{\hat{u}}{\hat{i}}}}

 

 


Komplexer Leitwert am Ohmschen Widerstand


Der zugehörige komplexe Leitwert hat dann die Form:

 \boxed{ \underline{Y}_R = G = \frac{\underline{i}}{\underline{u}} }

bzw.

 \boxed{ \underline{Y}_R = \frac{\underline{\hat{I}}}{\underline{\hat{U}}} }

 

Oder in Versordarstellung:

 \boxed{ \underline{Y}_R = \frac{\hat{i}}{\hat{u}} \angle 0\text{°} = \frac{\hat{i}}{\hat{u}}}

 

 


Ohmsches Gesetz – Kondensator


Verwenden wir in der Gleichung für die Kapazität (Kondensator) C anstelle von u und i Zeiger, so erhalten wir nach der Differentiation die Gleichung:

 

 \boxed{ \frac{\underline{i}}{C} = \frac{d\underline{u}}{dt} = \hat{u} \cdot e^{j \cdot (\omega \cdot t + \varphi_u)} \cdot j \cdot \omega = \underline{u} \cdot j \cdot \omega }

 

undefiniert
Ja, das hilft....

Jetzt kommt uns folgende Gleichung zur Hilfe:

 \boxed{ e^{- j \frac{\pi}{2}} = cos (- \frac{\pi}{2}) + j \cdot sin (- \frac{\pi}{2}) }

das ergibt dann:

 \boxed{ e^{- j \frac{\pi}{2}} = 0 + j \cdot (-1) }

und letztlich:

 \boxed{ e^{- j \frac{\pi}{2}} = - j }

 

Nach der Umstellung der obigen Gleichung und dem Einsetzen von - j erhalten wir final

 \boxed{ \frac{\underline{u}}{\underline{i}} = \frac{1}{j \cdot \omega \cdot C}}

das entspricht

 \boxed{ \frac{\underline{u}}{\underline{i}} = -j \cdot \frac{1}{\omega \cdot C}} 

oder halt

 \boxed{ \frac{\underline{u}}{\underline{i}} = \frac{1}{\omega \cdot C} e^{- j \frac{\pi}{2}}} 

 

Aber was können wir jetzt damit anfangen? – Schauen wir uns die Phasenwinkel an:

 \boxed{ \varphi_u - \varphi_i = - \frac{\pi}{2} }

 

Denn es gilt:

 \boxed{ \boxed{ \varphi_u = \varphi_i \cdot (-\frac{\pi}{2}) }}

 

Es zeigt sich, dass die \underline{u} bei einem Kondensator (ideal) gegenüber \underline{i} um \frac{\pi}{2} = 90° in der Phase verschoben ist. 

 

 


Komplexer Widerstand am Kondensator (Ohmsches Gesetz)


Für die Impedanz gilt dann:

 \boxed{ \underline{Z}_C = j \cdot X_c} = \frac{\underline{u}}{\underline{i}}}

oder in Versordarstellung:

 \boxed{ \underline{Z}_C =  \frac{\hat{u}}{\hat{i}} \angle -90 \text{°}}

 

Schaut man jetzt wieder auf den Realteil und den Imaginärteil, so zeigt sich beim komplexen Widerstand \underline{Z}_C am Kondensator, dass dieser nur aus einem negativen Imaginärteil besteht. Daher haben wir nur einen negativen Blindwiderstand und keinen Wirkwiderstand vorliegen. 

 

Formal äußert sich das dann so:

 \boxed{ X_C = \frac{1}{\omega \cdot C} = - \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C } }

 


Komplexer Leitwert am Kondensator


Der zugehörige komplexe Leitwert (Admittanz) hat dann die Form:

 \boxed{ \underline{Y}_C = \frac{1}{j \cdot X_c} = \frac{\underline{u}}{\underline{i}}}

bzw.

 \boxed{ \underline{Y}_C = \frac{\underline{\hat{U}}}{\underline{\hat{I}}} }

 

Oder in Versordarstellung:

 \boxed{ \underline{Y}_C = \frac{\hat{u}}{\hat{i}} \angle -90\text{°}}

 

Formal äußert sich das dann so:

 \boxed{ \underline{Y}_C = j \cdot \omega \cdot C = - 2 \cdot pi \cdot f \cdot C}

 

 


Ohmsches Gesetz – Spule


Verwenden wir in der Gleichung für die Induktivität (Spule) L anstelle von u und i Zeiger, so erhalten wir nach der Differentiation die Gleichung:

 

 \boxed{ \frac{\underline{u}}{L} = \frac{d\underline{i}}{dt}}

Das entspricht

 \boxed{ \frac{\underline{u}}{L} = \hat{i} \cdot e^{j \cdot (\omega \cdot t + \varphi_i)} \cdot j \cdot \omega }

und angepasst erhalten wir:

 \boxed{ \frac{\underline{u}}{L} = \underline{i} \cdot j \cdot \omega }

 

 

undefiniert
Ja, das hilft....

Jetzt kommt uns folgende Gleichung zur Hilfe:

 \boxed{ e^{ j \frac{\pi}{2}} = cos ( \frac{\pi}{2}) + j \cdot sin ( \frac{\pi}{2}) }

das ergibt dann letztlich:

 \boxed{ e^{ j \frac{\pi}{2}} = j }

 

Nach der Umstellung der obigen Gleichung und dem Einsetzen von j erhalten wir final

 \boxed{ \frac{\underline{u}}{\underline{i}} = j \cdot \omega \cdot L}}

das entspricht ebenfalls

 \boxed{ \frac{\underline{u}}{\underline{i}} = \omega \cdot L \cdot e^{ j \frac{\pi}{2}}} 

 

Aber was können wir jetzt erneut damit anfangen? – Schauen wir uns die Phasenwinkel an:

 \boxed{ \varphi_u - \varphi_i = \frac{\pi}{2} }

 

Denn es gilt:

 \boxed{ \boxed{ \varphi_u = \varphi_i \cdot (\frac{\pi}{2}) }}

 

Es zeigt sich, dass die \underline{u} bei einer Spule (ideal) gegenüber \underline{i} um \frac{\pi}{2} = 90° in der Phase voreilt ist. 

 


Komplexer Widerstand an der Spule (Ohmsches Gesetz)


Für die Impedanz gilt dann:

 \boxed{ \underline{Z}_L = j \cdot X_L} = \frac{\underline{u}}{\underline{i}}}

oder in Versordarstellung:

 \boxed{ \underline{Z}_L =  \frac{\hat{u}}{\hat{i}} \angle 90 \text{°}}

 

Schaut man jetzt wieder auf den Realteil und den Imaginärteil, so zeigt sich beim komplexen Widerstand \underline{Z}_L an der Spule, dass dieser nur aus einem positiven Imaginärteil besteht. Daher haben wir nur einen positiven Blindwiderstand und keinen Wirkwiderstand vorliegen. 

 

Formal äußert sich das dann so:

 \boxed{ X_L = \omega \cdot L  = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot L } }

 


Komplexer Leitwert am Kondensator


Der zugehörige komplexe Leitwert (Admittanz) hat dann die Form:

 \boxed{ \underline{Y}_L = \frac{1}{j \cdot X_L} = \frac{\underline{i}}{\underline{u}}}

bzw.

 \boxed{ \underline{Y}_L = \frac{\underline{\hat{I}}}{\underline{\hat{U}}} }

 

Oder in Versordarstellung:

 \boxed{ \underline{Y}_L = \frac{\hat{i}}{\hat{u}} \angle 90\text{°}}}

 

Formal äußert sich das dann so:

 \boxed{ \underline{Y}_L =\frac{1}{ j \cdot \omega \cdot C} = \frac{1}{ 2 \cdot \pi \cdot f \cdot L}}

 

 



wie gehts weiter
Wie geht's weiter?

Nachdem du jetzt weißt, was es mit dem Thema Ohmsches Gesetz im komplexen Bereich auf sich hat, starten wir im kommenden Kurstext damit, dir die Symbolische Methode zu erklären. 

 

Trainingsbereich

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