(ET5-20) Komplexe Wechselstromschaltungen – Komplexer Strom

In diesem Kurstext stellen wir dir kurz das Thema komplexer Strom vor und erklären dir, wie wir diese Größe für die nachfolgenden komplexen Berechnungen der Wechselstromtechnik nutzen. Zudem erfährst du warum die Berechnung über die Größe komplexer Strom einfacher ist, als über andere Wege.

Komplexer Strom – Überblick

“Ein komplexer Strom ist eine zeitabhängige Größe. Sie ändert nicht nur den Betrag, sondern auch die Richtung, weshalb man von einem Wechselstrom spricht.”

Um die Einfachheit zu wahren, beschränken wir uns auch hier auf quasistätionare Zustände. Die Einschwingvorgänge, wie sie beim Einschalten von Spannungsquellen auftreten, nehmen wir als abgeklungen an und müssen sie nicht mehr separat betrachten.

Weiter nehmen wir an, dass sich der Strom harmonisch verhält und deshalb durch eine Sinuskurve oder Kosinuskurve beschrieben werden kann.

Komplexer Strom – harmonischer Verlauf der Kurve

In der nachfolgenden Abbildung siehst du neben dem harmonischen Verlauf der Spannungskurve (Schwingung), auch den Verlauf der harmonischen Stromkurve.

Wie dir bereits bekannt sein sollte, können wir unter Hinzunahme des Zeigerdiagramms, die harmonische Schwingung der Spannung mit einem Zeiger, der mit der Kreisfrequenz $\omega$ um den Nullpunkt rotiert in der komplexen Ebene darstellen.

undefiniert

Aaah, ich erinnere mich....

Wir erinnern uns: Die Länge des Zeigers stellt die Amplitude dar.

Außerdem wissen wir, dass der Übergang von einer Zeitfunktion hin zu einer Winkelfunktion mit dem Phasenwinkel $\varphi$ dargestellt werden kann.

Den Anstieg des Winkels beschreiben wir definitionsgemäß mit $\varphi = \omega \cdot t + \varphi_0$ .

undefiniert

Ne, das ist mir neu....

Was du bisher vielleicht nicht wusstest ist, dass man den zeitlichen Verlauf der Schwingung mit Hilfe der rotierenden Zeigerspitze auf die imaginäre Achse (bei einer Sinusfunktion) oder die reelle Achse (bei einer Kosinusfunktion) projiziert werden kann.

Komplexer Strom – Formel

Erneut gehen wir von unseren beiden bekannten Gleichungen aus:

$i = \hat{i} \cdot cos (\omega \cdot t + \varphi_i)$

bzw.

$i = \hat{i} \cdot sin (\omega \cdot t + \varphi_i)$

Mit diesen Gleichungen können wir auch den komplexen Strom beschreiben:

$\underline{i} = \hat{i} \cdot ( cos(\omega t + \varphi_i) + j \cdot sin (\omega \cdot t + \varphi_i))$

dies entspricht:

$\underline{i} = \hat{i} \cdot e^{j \cdot (\omega \cdot t + \varphi_i)}$

Versorschreibweise

Oder, falls eine Versorschreibweise gefordert ist, dann:

$\underline{i} = \hat{i}\angle \omega \cdot t + \varphi_i$

“Unter einem Versor versteht man einen Drehzeiger. Diese Schreibweise findet man bei der komplexen Wechselstromtechnik. Durch die Versorschreibweise umgeht man in der Berechnung die Exponenten und gibt dem Argument $\varphi$ die gleiche Schreibzeile und die identische Zeichengröße wie dem Betrag $a$ der komplexen Zahl.”

Damit ein Techniker direkt weiß, dass es sich um die Versorschreibweise handelt, verwendet man das Versorzeichen $\angle$ . Gelesen wird der obige Ausdruck wie folgt:

$\underline{i} \text{ ist gleich} \hat{i} \text{ Versor } \omega \cdot t + \varphi_i$

Jetzt können wir noch unterscheiden ob es ein zeitabhängiger (rotierender) Zeiger oder ein zeitunabhängiger (ruhender) Zeiger ist.

Formel – Zeitabhängiger (rotierender) Zeiger

Für einen rotierenden Zeiger gilt die bekannte Gleichung:

$\underline{i} = \hat{i}\angle \omega \cdot t + \varphi_i$

Hier rotiert der Zeiger mit der Länge $\hat{u}$ mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ um den Nullpunkt.

Formel – Zeitunabhängiger (ruhender) Zeiger

Für einen ruhenden Zeiger hingegen gilt:

$\underline{i} = \hat{i}\angle \varphi_i$

Den Faktor im letzten Ausdruck nennt man komplexe Amplitude oder Phasor.

Schreibweise mit Realteil und Imaginärteil

Man kann für die Beschreibung des komplexen Stroms als Signal den Kosinus oder den Sinus verwenden. Daraus ergibt sich die Schreibweise der reellen Größen als Realteil bzw. Imaginärteil.

So können die reellen Größen mit Hilfe von Addition und Subtraktion der konjugiert komplexen Signale ermittelt werden:

Formel – Realteil

$i = Re \ \underline{i} = \frac{\underline{i} + \underline{i}^*}{2}$

Formel – Imaginärteil

$i = Im \ \underline{i} = \frac{\underline{i} - \underline{i}^*}{2 \cdot j}$

Falls du es vergessen haben solltest, $j$ ist die imaginäre Einheit.

Merk's dir!

Man wählt diese Darstellung um das reelle Signal als Überlagerung des rotierenden Zeigers, also dem komplexen Signals, und einem entgegengesetzt rotierenden Zeigers auszudrücken.

Dabei rotiert der erste Zeiger (komplexes Signal) gegen den Uhrzeigersinn und der andere Zeiger (konjugiert komplexes Signal) im Uhrzeigersinn.

Komplexer Strom – Weitere Größen

Für ein genaue Berechnung benötigen wir die nicht von der Zeit abhängigen Größen, die ruhenden Zeigern zur Darstellung eines sinusförmigen Signals diesen.

Wir unterscheiden die komplexe Amplitude und den komplexen Effektivwert des Stroms.

“Beide fassen die reellen Konstanten, also die Amplitude bzw. den Effektivwert mit dem Nullphasenwinkel, zu einer komplexen und zeitunabhängigen Konstanten zusammen.”

Komplexe Amplitude des Stroms – Formel

Die komplexe Amplitude wird in der Wechselstromtechnik als Phasor bezeichnet und ermittelt sich mit der nachfolgenden Gleichung:

$\underline{\hat{i}} = \hat{i} \cdot e^{j \cdot \varphi_i}$

oder in Versorschreibweise:

$\underline{\hat{i}} = \hat{i} \angle \varphi_i$

“Die komplexe Amplitude wird aus der Amplitude und dem Nullphasenwinkel des Stroms ermittelt.”

Komplexer Strom – Komplexer Effektivwert des Stroms – Formel

Der komplexe Effektivwert ermittelt sich mit der nachfolgenden Gleichung:

$\underline{I} = \frac{\hat{i}}{\sqrt{2}} \cdot e^{j \cdot \varphi_i}$

Das entspricht dann

$\underline{I} = I \cdot e^{j \cdot \varphi_i}$

oder in Versorschreibweise:

$\underline{\hat{i}} = I \angle \varphi_i$

“Der komplexe Effektivwert wird aus dem Effektivwert und dem Nullphasenwinkel des Stroms ermittelt.”

Komplexer Strom – Komplexer Momentanwert des Stroms – Formel

Als weitere Größe betrachten wir nun komplexen Momentanwerte des Stroms. Diese errechnen sich nach der nachfolgenden Gleichung:

$\underline{i} = \sqrt{2} \cdot \underline{I} \cdot e^{j \cdot \omega \cdot t}$

oder angepasst mit der komplexen Amplitude des Stroms

$\underline{i} = \underline{\hat{I}} \cdot e^{j \cdot \omega \cdot t}$

Komplexer Strom – Finale Gleichung

Multiplizieren wir jetzt, ausgehend von unseren obigen Gleichung, mit der harmonischen Exponentiellen $e^{j \cdot \omega \cdot t}$ so erhalten wir wieder die Gleichung für den komplexen Strom.

“Denn die harmonische Exponentielle stellt einen rotierenden Einheitszeiger dar.”

Ausgehend von der komplexen Amplitude können wir die reellen Signale wie folgt beschreiben:

Realteil des Stroms – Formel

$i = Re(\underline{\hat{I}} \cdot e^{j \cdot w \cdot t})$

Diese entspricht dann:

$i = \frac{1}{2} \cdot (\underline{\hat{I}} \cdot e^{j \cdot w \cdot t} + \underline{\hat{I}}^* \cdot e^{-j \cdot w \cdot t})$

Imaginärteil des Stroms – Formel

$i = Im(\underline{\hat{I}} \cdot e^{j \cdot w \cdot t})$

Diese entspricht dann:

$i = \frac{1}{2j} \cdot (\underline{\hat{I}} \cdot e^{j \cdot w \cdot t} + \underline{\hat{I}}^* \cdot e^{j \cdot w \cdot t})$

Komplexer Strom – Abschließende Erläuterung

Bei der Berechnung für die Größe komplexer Strom können, unter Einhaltung des Überlagerungssatzes, alle Rechenschritte ausschließlich mit komplexen Signalen durchgeführt werden, sofern man am Ende den Realteil und Imaginärteil verwendet.

Für den komplexen Strom ist diese Vorgehensweise zulässig für

Addition,
Subtraktion,
Multiplikation

mit reellen Konstanten.

Zudem eignet sich die Vorgehensweise für die

Differentiation
Integration

von Signalen.

Ausgeschlossen sind hingegen hier die Multiplikation und Division von Signalen.

“Es hat sich gezeigt, dass das Rechnen mit komplexen Signalen, also der komplexe Strom fast immer einfacher ist als das Rechnen mit reellen sinusförmigen Signalen.”

Komplexer Strom, komplexe Spannung – Warum?

wie gehts weiter?

Nachdem du jetzt weißt, was es mit dem Thema komplexer Strom auf sich hat, starten wir im kommenden Kurstext damit, dir das Ohmsche Gesetz im komplexen Bereich zu erklären.

Was gibt es noch bei uns?

Finde die richtige Schule für dich!

Kennst du eigentlich schon unser großes Technikerschulen-Verzeichnis für alle Bundesländer mit allen wichtigen Informationen (Studiengänge, Kosten, Anschrift, Routenplaner, Social-Media)? Nein? – Dann schau einfach mal hinein:

Was ist Technikermathe.de?

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den >> kostenlosen Probekurs << durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus jedem unserer Kurse!

Interaktive Übungsaufgaben

Quizfrage 1

Wusstest du, dass unter jedem Kursabschnitt eine Vielzahl von verschiedenen interaktiven Übungsaufgaben bereitsteht, mit denen du deinen aktuellen Wissensstand überprüfen kannst?

Auszüge aus unserem Kursangebot

Hat dir dieses Thema gefallen? – Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen
ET6 (Wechselstromtechnik 1) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an.

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 19,90 EUR/Jahr pro Onlinekurs
++ Günstiger geht’s nicht!! ++

Oder direkt >> Mitglied << werden und >> Zugriff auf alle 22 Kurse << (inkl. >> Webinare << + Unterlagen) sichern ab 8,90 EUR/Monat
++ Besser geht’s nicht!! ++