(ET5-19) Komplexe Wechselstromschaltungen – Komplexe Spannung

In diesem Kurstext stellen wir dir kurz die komplexe Spannung vor und erklären dir, wie wir diese für die nachfolgenden komplexen Berechnungen der Wechselstromtechnik nutzen. Zudem erfährst du warum die Berechnung über die komplexe Spannung einfacher ist, als über andere Wege.

Komplexe Spannung – Überblick

“Bei einer komplexen Spannung handelt es sich um eine zeitabhängige Größe. Sie ändert nicht nur den Betrag, sondern auch die Richtung, weshalb man von einer Wechselspannung spricht.”

Merk's dir!

Um die Einfachheit zu wahren, beschränken wir uns auf quasistätionare Zustände. Die Einschwingvorgänge, wie sie beim Einschalten von Spannungsquellen auftreten, nehmen wir als abgeklungen an und müssen sie nicht mehr separat betrachten.

Weiter nehmen wir an, dass sich die Spannung harmonisch verhält und deshalb durch eine Sinuskurve oder Kosinuskurve beschrieben werden kann.

Komplexe Spannung – harmonischer Verlauf der Kurve

In der nachfolgenden Abbildung siehst du neben dem harmonischen Verlauf der Stromkurve (Schwingung), auch den Verlauf der harmonischen Spannungskurve.

Komplexe Spannung, Komplexer Strom - harmonisches Signal — Komplexe Spannung, Komplexer Strom – harmonisches Signal

Wie dir bereits bekannt sein sollte, können wir unter Hinzunahme des Zeigerdiagramms, die harmonische Schwingung der Spannung mit einem Zeiger, der mit der Kreisfrequenz $\omega$ um den Nullpunkt rotiert in der komplexen Ebene darstellen.

undefiniert

Aaah, ich erinnere mich....

Wir erinnern uns: Die Länge des Zeigers stellt die Amplitude dar.

Außerdem wissen wir, dass der Übergang von einer Zeitfunktion hin zu einer Winkelfunktion mit dem Phasenwinkel $\varphi$ dargestellt werden kann.

Den Anstieg des Winkels beschreiben wir definitionsgemäß mit $\varphi = \omega \cdot t + \varphi_0$ .

undefiniert

Ne, das ist mir neu....

Was du bisher vielleicht nicht wusstest ist, dass man den zeitlichen Verlauf der Schwingung mit Hilfe der rotierenden Zeigerspitze auf die imaginäre Achse (bei einer Sinusfunktion) oder die reelle Achse (bei einer Kosinusfunktion) projiziert werden kann.

Komplexe Spannung – Formel

Erneut gehen wir von unseren beiden bekannten Gleichungen aus:

$\boxed{u = \hat{u} \cdot cos (\omega \cdot t + \varphi_u) }$

bzw.

$\boxed{u = \hat{u} \cdot sin (\omega \cdot t + \varphi_u) }$

Mit diesen Gleichungen können wir auch die komplexe Spannung beschreiben:

$\boxed{\underline{u} = \hat{u} \cdot ( cos(\omega t + \varphi_u) + j \cdot sin (\omega \cdot t + \varphi_u)) }$

dies entspricht:

$\boxed{\underline{u} = \hat{u} \cdot e^{j \cdot (\omega \cdot t + \varphi_u) }}$

Versorschreibweise

Oder, falls eine Versorschreibweise gefordert ist, dann:

$\boxed{ \underline{u} = \hat{u}\angle \omega \cdot t + \varphi_u }$

“Unter einem Versor versteht man einen Drehzeiger. Diese Schreibweise findet man bei der komplexen Wechselstromtechnik. Durch die Versorschreibweise umgeht man in der Berechnung die Exponenten und gibt dem Argument $\varphi$ die gleiche Schreibzeile und die identische Zeichengröße wie dem Betrag $a$ der komplexen Zahl.”

Damit ein Techniker direkt weiß, dass es sich um die Versorschreibweise handelt, verwendet man das Versorzeichen $\angle$ . Gelesen wird der obige Ausdruck wie folgt:

$\boxed{ \underline{u} \text{ ist gleich } \hat{u} \text{ Versor } \omega \cdot t + \varphi_u }$

Jetzt können wir noch unterscheiden ob es ein zeitabhängiger (rotierender) Zeiger oder ein zeitunabhängiger (ruhender) Zeiger ist.

Formel – Zeitabhängiger (rotierender) Zeiger

Für einen rotierenden Zeiger gilt die bekannte Gleichung:

$\boxed{ \underline{u} = \hat{u}\angle \omega \cdot t + \varphi_u }$

Hier rotiert der Zeiger mit der Länge $\hat{u}$ mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ um den Nullpunkt.

Formel – Zeitunabhängiger (ruhender) Zeiger

Für einen ruhenden Zeiger hingegen gilt:

$\boxed{ \underline{u} = \hat{u}\angle \varphi_u }$

Den Faktor im letzten Ausdruck nennt man komplexe Amplitude oder Phasor.

Schreibweise mit Realteil und Imaginärteil

Man kann für die Beschreibung der komplexen Spannung als Signal den Kosinus oder den Sinus verwenden. Daraus ergibt sich die Schreibweise der reellen Größen als Realteil bzw. Imaginärteil.

So können die reellen Größen mit Hilfe von Addition und Subtraktion der konjugiert komplexen Signale ermittelt werden:

Formel – Realteil

$\boxed{u = Re \ \underline{u} = \frac{\underline{u} + \underline{u}^*}{2}}$

Formel – Imaginärteil

$\boxed{ u = Im \ \underline{u} = \frac{\underline{u} - \underline{u}^*}{2 \cdot j} }$

Falls du es vergessen haben solltest, $j$ ist die imaginäre Einheit.

Merk's dir!

Man wählt diese Darstellung um das reelle Signal als Überlagerung des rotierenden Zeigers, also dem komplexen Signals, und einem entgegengesetzt rotierenden Zeigers auszudrücken.

Dabei rotiert der erste Zeiger (komplexes Signal) gegen den Uhrzeigersinn und der andere Zeiger (konjugiert komplexes Signal) im Uhrzeigersinn.

Komplexe Spannung – Weitere Größen

Für ein genaue Berechnung benötigen wir die nicht von der Zeit abhängigen Größen, die ruhenden Zeigern zur Darstellung eines sinusförmigen Signals diesen.

Wir unterscheiden die komplexe Amplitude und den komplexen Effektivwert der Spannung.

“Beide fassen die reellen Konstanten, also die Amplitude bzw. den Effektivwert mit dem Nullphasenwinkel, zu einer komplexen und zeitunabhängigen Konstanten zusammen.”

Komplexe Amplitude der Spannung – Formel

Die komplexe Amplitude wird in der Wechselstromtechnik als Phasor bezeichnet und ermittelt sich mit der nachfolgenden Gleichung:

$\boxed{ \underline{\hat{u}} = \hat{u} \cdot e^{j \cdot \varphi_u} }$

oder in Versorschreibweise:

$\boxed{\underline{\hat{u}} = \hat{u} \angle \varphi_u }$

“Die komplexe Amplitude wird aus der Amplitude und dem Nullphasenwinkel der Spannung ermittelt.”

Komplexer Effektivwert der Spannung – Formel

Der komplexe Effektivwert ermittelt sich mit der nachfolgenden Gleichung:

$\boxed{ \underline{U} = \frac{\hat{u}}{\sqrt{2}} \cdot e^{j \cdot \varphi_u} }$

Das entspricht dann

$\boxed{ \underline{U} = U \cdot e^{j \cdot \varphi_u} }$

oder in Versorschreibweise:

$\boxed{ \underline{\hat{u}} = U \angle \varphi_u }$

“Der komplexe Effektivwert wird aus dem Effektivwert und dem Nullphasenwinkel der Spannung ermittelt.”

Komplexer Momentanwert der Spannung – Formel

Als weitere Größe betrachten wir nun komplexen Momentanwerte der Spannung. Diese errechnen sich nach der nachfolgenden Gleichung:

$\boxed{\underline{u} = \sqrt{2} \cdot \underline{U} \cdot e^{j \cdot \omega \cdot t} }$

oder angepasst mit der komplexen Amplitude der Spannung

$\boxed{ \underline{u} = \underline{\hat{U}} \cdot e^{j \cdot \omega \cdot t} }$

Komplexe Spannung – Finale Gleichung

Multiplizieren wir jetzt, ausgehend von unseren obigen Gleichung, mit der harmonischen Exponentiellen $e^{j \cdot \omega \cdot t}$ so erhalten wir wieder die Gleichung für die komplexe Spannung.

“Denn die harmonische Exponentielle stellt einen rotierenden Einheitszeiger dar.”

Ausgehend von der komplexen Amplitude können wir die reellen Signale wie folgt beschreiben:

Realteil der Spannung – Formel

$\boxed{ u = Re(\underline{\hat{U}} \cdot e^{j \cdot w \cdot t}) }$

Diese entspricht dann:

$\boxed{ u = \frac{1}{2} \cdot (\underline{\hat{U}} \cdot e^{j \cdot w \cdot t} + \underline{\hat{U}}^* \cdot e^{-j \cdot w \cdot t}) }$

Imaginärteil der Spannung – Formel

$\boxed{ u = Im(\underline{\hat{U}} \cdot e^{j \cdot w \cdot t}) }$

Diese entspricht dann:

$\boxed{ u = \frac{1}{2j} \cdot (\underline{\hat{U}} \cdot e^{j \cdot w \cdot t} + \underline{\hat{U}}^* \cdot e^{j \cdot w \cdot t}) }$

Komplexe Spannung – Abschließende Erläuterung

Bei der Berechnung von komplexen Spannungen können, unter Einhaltung des Überlagerungssatzes, alle Rechenschritte ausschließlich mit komplexen Signalen durchgeführt werden, sofern man am Ende den Realteil und Imaginärteil verwendet.

Für die komplexe Spannung ist diese Vorgehensweise zulässig für

Addition,
Subtraktion,
Multiplikation

mit reellen Konstanten.

Zudem eignet sich die Vorgehensweise für die

Differentiation,
Integration

von Signalen.

Ausgeschlossen sind hingegen hier die Multiplikation und Division von Signalen.

“Es hat sich gezeigt, dass das Rechnen mit komplexen Signalen, also die komplexe Spannung fast immer einfacher ist als das Rechnen mit reellen sinusförmigen Signalen.”

Komplexer Strom, komplexe Spannung – Warum?

wie gehts weiter?

Nachdem du jetzt weißt, was es mit dem Thema komplexe Spannung auf sich hat, starten wir im kommenden Kurstext damit, dir den komplexen Strom zu erklären. Die Vorgehensweise verhält sich fast analog zu der in diesem Kurstext behandelten Vorgehensweise.

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