(ET5-18) Komplexe Wechselstromschaltungen – Komplexe Zahlen

Inhaltsverzeichnis

In diesem Kurstext stellen wir dir kurz die komplexen Zahlen vor und erklären dir, wie wir diese für die nachfolgenden komplexen Größen der Wechselstromtechnik nutzen.

 


Komplexe Zahlen – Überblick


Wir zeigen die wie Komplexe Zahlen uns helfen komplexe Berechnungen von Wechselstromschaltungen durchzuführen. Damit ist es uns möglich komplexe Spannungen, Ströme, Widerstände und Leitwerte zu ermitteln. 

 


Komplexe Zahlen – Regeln


Wie du bereits weißt, nutzen wir die komplexen Zahlen um komplexe Netzwerke der Wechselstromtechnik zu lösen. Hierbei beschreiben wir die Größen mit komplexen Zahlen.  Nachfolgend zeigen wir dir zuerst die Darstellung im Zeigerdiagramm auf und gehen anschließend auf die mathematische Darstellung im Detail ein. 

 

 


 Geometrische Ansicht


 

“Für die Darstellung der komplexen Zahlen bedienen wir uns der Gaußschen Zahlenebene.” 

 

Im Koordinatensystem teilen wir die Achsen ein in eine reelle Achse (Abzissenachse) und in eine imaginäre Achse (Ordinatenachse). Wie das aussieht, kannst du in der nächsten Abbildung nachvollziehen. 

 

Komplexe Zahlen - Gaußsche Zahlenebene
Komplexe Zahlen – Gaußsche Zahlenebene

 

Auf der reellen Achse tragen wir die reellen Zahlen ab. 

Als imaginäre Einheit wählen wir die Zahl (Buchstaben) j. Deren Quadrat ergibt den Wert - 1. Formal äußert sich das wie folgt:

 

 \boxed{ j = \sqrt{-1} }Imaginäre Einheit. 

 

 

undefiniert
Gute Frage...

Falls du dich jetzt fragst, warum wir hierfür nicht wie in der allgemeinen Mathematik ein i verwenden, dann liegt das daran, dass i bereits für die komplexe Stromstärke in der Wechselstromtechnik reserviert ist und wir somit ausweichen müssen um Verwechslungen vorzubeugen. 

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Bei der Gaußschen Zahlenebene gilt, dass jeder Punkt durch einen Zeiger dargestellt wird. Dieser schließt zusammen mit der reellen Achse den Winkel \varphi ein. Daraus können wir ebenfalls ableiten, dass jede komplexe Zahl einem Zeiger entspricht, welcher im Achsenursprung startet und bis zum zugehörigen Punkt zeigt. 

 

Damit wir den Überblick zwischen reellen und komplexen Größen behalten, unterstreichen wir die komplexen Größen. 

 


Komplexe Zahlen – Darstellungen


“Im Folgenden verwenden wir immer \underline{z} als Stellvertreter für die komplexen Wechselgrößen \underline{u} und \underline{i}

 

Komplexe Zahlen können auf unterschiedliche Weise dargestellt werden. So kann jede komplexe Zahl \underline{z} durch folgende Gleichung beschrieben werden:

 

 \boxed{ \underline{z} = a + j \cdot b } 

wobei

 \boxed{ a, b \in R } 

 

Kennzahlen:

 \boxed{ j = } Imaginäre Zahl

 \boxed{ a = } Realteil (Re(\underline{z})) von \underline{z}

 \boxed{ b = } Imaginärteil (Im(\underline{z})) von \underline{z}

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Nimmt b den Wert null an, also b = 0, so erhalten wir als Ergebnis die reellen Zahlen als Sonderfall der komplexen Zahlen. 

 


Algebraische Form der Darstellung


Die algebraische Form nutzt die kartesischen Koordinaten und sieht wie folgt aus:

 \boxed{ \underline{z} = a + j \cdot b }

 

Hier ist \underline{z} ein Punkt mit einer Abszisse a und einer Ordinate b.

 


Trigonometrische Form der Darstellung


Die trigonometrische Form nutzt die Polarkoordinaten und sieht wie folgt aus:

 \boxed{ \underline{z} = z \cdot (cos \varphi + j \cdot sin \varphi) } 

 

Hier wird \underline{z} durch einen Zeiger mit der Länge z dargestellt. Zwischen dem Zeiger und der Abszissenachse liegt der Winkel \varphi

 

Hier gilt für z

 \boxed{ z = |\underline{z}| = \sqrt{a^2 + b^2}}Betrag der komplexen Zahl

sowie

 \boxed{ \varphi = arctan \frac{b}{a}}Argument der komplexen Zahl

 

 


Exponentialform der Darstellung


Die Exponentialform bedient sich der Eulerschen Formel und sieht wie folgt aus:

 \boxed{ \underline{z} = z \cdot e^{j\varphi} } 

mit

 \boxed{ e^{j\varphi} = cos \varphi + j \cdot sin \varphi }Eulersche Formel

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Für komplexe Zahlen sind Überlegungen wie im Vergleich kleiner oder größer nicht definiert. Sie können laut Definition lediglich gleich sein, wenn ihre jeweiligen Realteile und Imaginärteile identisch sind. 

 


Komplexe Konjugation


In der nachfolgenden Abbildung kannst du erkennen, dass ein Vorzeichenwechsel stattgefunden hat und somit der Zeiger an der reellen Achsen gespiegelt wurde.

 

Komplexe Zahlen - Komplexe Konjugation
Komplexe Zahlen – Komplexe Konjugation

 

Dies geschieht, weil wir das Vorzeichen des Imaginärteils geändert haben. Dadurch wird \underline{z} zu der konjugierten komplexen Zahl \underline{z}*:

 

 \boxed{ \underline{z}* = a - j \cdot b } konjugiert komplexe Zahl der algebraischen Form

oder

 \boxed{ \underline{z}* = z \cdot e^{-j \varphi} } konjugiert komplexe Zahl der Exponentialform

 

Führt man nun noch zwei Mal eine Konjugation durch, so erhält man wieder den ursprünglichen Wert.

 

 \boxed{ (\underline{z}*)* = \underline{z} }

 

Abschließend noch eine weitere Gegebenheit: Wenn man das Produkt aus der anfänglichen Zahl und der konjugierten Zahl bildet, so ergibt das das Quadrat des Betrags der komplexen Zahl:

 

 \boxed{ \underline{z} \cdot \underline{z} = (a + j \cdot b)(a - j \cdot b) = a^2 + b^2 = |\underline{z}|^2 }

 

Siehst du die Analogie zu den Binomischen Formeln?

 

 


Komplexe Zahlen – Rechnungen


Nachfolgend findet du die üblichen Rechnenoperationen, die man für die komplexen Zahlen der Wechselgrößen verwendet. Die Menge, die wir als Ergebnis erhalten bildet einen “Körper” den wir mit C bezeichnen.

 


Addition und Subtraktion


Wie du vermutlich bereits erahnen kannst, verhalten sich die komplexen Zahlen wie Vektoren in einem zweidimensionalen Feld. 

 

” Daher können wir bei der Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen wie bei der Vektoraddition vorgehen.” 

 

In der nächsten Abbildung siehst du die Darstellung der Vektoraddition bezogen auf unsere komplexen Zahlen:

 

Komplexe Zahlen - Addition und Subtraktion
Komplexe Zahlen – Addition und Subtraktion

 

Die Berechnung der Real- und Imaginärteile erfolgt getrennt:

 


Komplexe Zahlen – Addition


 \boxed{ \underline{z}_1 + \underline{z}_2 = (a_1 + j \cdot b_1) + (a_2 + j \cdot b_2) }

Ausklammern der Imaginären Zahl j und anpassen von Real- und Imaginärteil (a, b) ergibt dann:

 \boxed{ \underline{z}_1 + \underline{z}_2 = (a_1 + a_2) + j \cdot (b_1 +  b_2) }

 


Komplexe Zahlen – Subtraktion


 \boxed{ \underline{z}_1 - \underline{z}_2 = (a_1 + j \cdot b_1) - (a_2 + j \cdot b_2) }

Ausklammern der Imaginären Zahl j und anpassen von Real- und Imaginärteil (a, b) ergibt dann:

 \boxed{ \underline{z}_1 + \underline{z}_2 = (a_1 - a_2) + j \cdot (b_1 -  b_2) }

 

 

 


Multiplikation und Division


Die Vorgehensweise bei der Multiplikation und Division für komplexe Zahlen erfolgt anders.

 

“Hier werden die Winkel \varphi zwischen der Zeiger zur Ordinate addiert.”

 

In der nächsten Abbildung siehst du die Darstellung der Multiplikation im Zeigerbild bezogen auf unsere komplexen Zahlen:

 

Komplexe Zahlen - Multiplikation und Division
Komplexe Zahlen – Multiplikation und Division

 


Komplexe Zahlen – Multiplikation


Wollen wir eine komplexe Zahl mit einer anderen komplexen Zahl multiplizieren, dann gelten folgende Gleichungen:

 

Für die algebraische Form gilt:

 \boxed{ \underline{z}_1 \cdot \underline{z}_2 = (a_1 + j \cdot b_1) \cdot (a_2 + j \cdot b_2) }

Ausklammern der Imaginären Zahl j und anpassen von Real- und Imaginärteil (a, b) ergibt dann:

 \boxed{ \underline{z}_1 + \underline{z}_2 = (a_1 \cdot a_2 - b_1 \cdot b_2) - j \cdot (a_1 \cdot b_2 + b_1 \cdot a_2) }

 

Für die Exponentialform gilt:

 \boxed{ \underline{z}_1 \cdot \underline{z}_2 = z_1 \cdot e^{j \varphi_1} \cdot z_2 \cdot e^{j \varphi_2} }

Ausklammern der Imaginären Zahl j in den Exponenten ergibt:

 \boxed{ \underline{z}_1 \cdot \underline{z}_2 = z_1 \cdot z_2 \cdot e^{ j(\varphi_1+ \varphi_2)}}

 

 

Merk's dir!
Merk's dir!

In der obigen Abbildung und mit Blick auf die Gleichungen zeigt sich, dass bei der Multiplikation von \underline{z}_1 und \underline{z}_2 der Zeiger \underline{z}_1 mit dem Faktor z_2 = |\underline{z}_2| verlängert wird und gleichzeitig um den Winkel \varphi_2 gedreht wird. Hier bei erfolgt die Drehung gegen den Uhrzeigersinn also in positive Drehrichtung einer elektrischen Wechselgröße.

 

 


Komplexe Zahlen – Division


Wollen wir eine komplexe Zahl durch eine andere komplexe Zahl dividieren, dann gelten folgende Gleichungen:

 

Für die algebraische Form gilt:

 \boxed{ \frac{\underline{z}_1}{\underline{z}_2} = \frac{a_1 + j \cdot b_1}{a_2 + j \cdot b_2} }

Die Brucherweiterung ergibt:

 \boxed{ \frac{\underline{z}_1}{\underline{z}_2} = \frac{(a_1 + j \cdot b_1) \cdot (a_2 - j \cdot b_2)}{(a_2 + j \cdot b_2) \cdot (a_2 - j \cdot b_2)} }

Ausklammern der Imaginären Zahl j ergibt:

 \boxed{ \frac{\underline{z}_1}{\underline{z}_2} = \frac{a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2}{a_2^2 + b_2^2} + j \cdot \frac{a_2 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_2}{a_2^2 + b_2^2} }

 

Für die Exponentialform gilt:

 \boxed{ \frac{\underline{z}_1}{\underline{z}_2} = \frac{z_1 \cdot e^{j \varphi_1}}{z_2 \cdot e^{j \varphi_2}}}

Ausklammern der Imaginären Zahl j in den Exponenten ergibt:

 \boxed{ \frac{\underline{z}_1}{\underline{z}_2} = \frac{z_1}{z_2} \cdot e^{j (\varphi_1 - \varphi_2)} }

 

Merk's dir!
Merk's dir!

In der obigen Abbildung und mit Blick auf die Gleichungen zeigt sich, dass bei der Division von \underline{z}_1 und \underline{z}_2 der Zeiger \underline{z}_1 um den Winkel \varphi_2 gedreht wird. Hier bei erfolgt die Drehung aber im  Uhrzeigersinn also in negative Drehrichtung einer elektrischen Wechselgröße. Zudem verkürzt sich die Länge des Zeigers um den Faktor \frac{1}{z_2}

 

 


Komplexe Zahlen – Zusammenfassung 


Aus diesem Kurstext zum Thema komplexe Zahlen solltest du für die weiteren Kurstext folgendes im Gedächtnis behalten:

 

  1. Jede komplexe Zahl entspricht einem Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene
  2. Komplexe Zahlen kann man auf dreierlei Weise beschreiben:  algebraische Form, trigonometrische Form & Exponentialform.
  3. a ist der Realteil und b der Imaginärteil der komplexen Zahlen
  4. |\underline{z}| = z ist der Betrag für komplexe Zahlen \underline{z}
  5. \varphi ist das Argument für komplexe Zahlen 
  6. \underline{z}* ist das Konjugierte der komplexen Zahl \underline{z} 
  7. Die Multiplikation von \underline{z} und \underline{z}* ergibt: \underline{z} \cdot \underline{z}* = |\underline{z}|²
  8. Alle vier Grundrechenarten können für die komplexen Zahlen genutzt werden. 

 

undefiniert
Was nehme ich wofür?...

In den meisten Fällen verwendet man die Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen die algebraische Form und für die Multiplikation und Division die Exponentialform. 

 



wie gehts weiter
Wie geht's weiter?

Nachdem du jetzt weißt, was es mit dem Thema komplexe Zahlen auf sich hat, starten wir im kommenden Kurstext damit, dir die Komplexe Spannung und den komplexen Strom zu erklären. 

 

Trainingsbereich

Übrigens….. Als “Mitglied unserer Technikermathe-Community” findest du unter jedem Kurstext zusätzlich einen Trainingsbereich mit vielen interaktiven Übungsaufgaben zur Wissensvertiefung, sowie eine umfangreiche Formelsammlung und Probeklausur am Ende eines jeden Kurses.

Mehr für dich!
Hat dir dieses Thema gefallen?Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zum Kurs ET6 und ET7 an: https://technikermathe.de/courses/et6-wechselstromtechnik 
sowie: https://technikermathe.de/courses/et7-wechselstromtechnik-2

Kennst du eigentlich schon unseren Channel? – Nein? – Dann schau super gerne vorbei: https://www.youtube.com/channel/UCCsPZX5is8mRcoZG8uAS_ZQ

Schon gewusst?

Aktuell bieten wir über 2500 Lerntexte in über 20 Kursen zu den verschiedensten Themen an! Als Technikermathe.de Mitglied hast du vollen Zugriff auf alle Lerninhalte!

Uns gibts auch auf YouTube!

Undzwar mit aktuell über 400 Lernvideos und allen Aufzeichnungen von unseren Webinaren!

Lass uns ein Abo da!

Wenn dir unsere Videos gefallen! Damit hilfst du uns echt mega und es kostet dich keinen Cent!
Zum YouTube Kanal
0
    0
    Dein Warenkorb
    Dein Einkaufswagen ist leer.Zurück zum Shop

    DEIN persönliches angebot!

    geb gas und sicher dir 2 MONATE technikermathe Mitgliedschaft zum Preis von einem!