(ENT2 34) – Energiebilanz – Energietechnik

In diesem Kurstext erklären wir dir als angehenden Techniker ausführlich wie die Energiebilanz eines Energiesystems aussieht.

Energiebilanz - Speichersilos — Energiebilanz – Speichersilos

Merk's dir!

Die Energiebilanz beschreibt den energetischen Zustand eines Gebiets (Systems).

Schauen wir uns hierzu die nachfolgende Abbildung an und betrachten die einzelnen Größen:

Aus dieser Grafik können wir eine einfache integrale Bilanzierung des hier betrachteten Volumenelements $Delta V$ herleiten.

Dabei berücksichtigen wir, die im Volumenelement vorherrschende Energiedichte $Psi$ sowie die sie beeinflussenden ein- und austretenden Energieflüsse $overline{Phi}_E$ .

Wir können die Überlegungen aus der Abbildung direkt in einer Formel angeben:

$\boxed{ \frac{\partial}{\partial t} \int_{\Delta V} \Psi d V = \int_{\Delta V} \overline{\Phi}_E \vec{f} }$

Energiebilanz – Differentialgleichung

Nach dem gleichen Prinzip wie bei der Mengenbilanz wenden wir nun den Gauß’schen Satz an, weil wir somit das Oberflächenintegral in ein Volumenintegral transformieren.

Wir erhalten die Energiebilanz als Differentialgleichung:

$\boxed{ \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - \nabla \vec{\Phi}_E }$

Eine Umformung dieser Gleichung ist zulässig, wenn die Energiedichte und die Energieflüsse räumlich konstant sind.

Energiebilanz – vereinfachte Differentialgleichung

Die vereinfachte Differentialgleichung können wir problemlos formulieren und erhalten:

$\boxed{ V \frac{\partial \Psi}{\partial t} = ( \sum_i \sum_k \dot{E}_{jk})_{ein} - ( \sum_i \sum_k \dot{E}_{jk})_{aus} }$

Indexbezeichnung:
$\boxed{j }$ = verschiedene Energiearten
$\boxed{k }$ = Anzahl der Ströme

undefiniert

Die Qual der Wahl...

Je nachdem wie es dir besser gefällt, kannst du jede vorliegende Energieform einzeln bilanzieren, teilweise in mehreren Bilanzen oder gänzlich in einer Bilanz erfassen.

Energiebilanz – Umwandlungsglieder

Gerade bei der Zusammenfassung helfen dir besondere Umwandlungsglieder da diese die Umwandlung der Energieform ineinander begründen.

Wenn wir nun das Umwandlungsglied $\omega_{E_i} = \frac{d}{dV} \cdot ( \frac{dE_i}{dt})$ vorliegen haben, so erhalten wir für die Differential- und Integralgleichung jeweils:

Differentialgleichung mit Umwandlungsglied:

Nachfolgend siehst du die Darstellung der Differentialgleichung:

$\boxed{ \frac{\partial Psi_i}{\partial t} = - \nabla \vec{\Phi}_{E_i} + \omega_{E_i} }$

Integralgleichung mit Umwandlungsglied:

Nachfolgend siehst du die Darstellung der Integralgleichung:

$\boxed{ \frac{\partial}{\partial t} \int_{\Delta V} \Psi_i dV = \int_{\Delta f}\vec{\Phi}_{E_i} df + \int_{\Delta V} \omega_{E_i} dV }$

Merk's dir!

Wir können eine Vereinfachung vornehmen, solange eine räumliche Konstanz aller Energieflussgrößen besteht.

Ist dieser Zustand gegeben, dann gilt nachfolgende Gleichung:

$\boxed{ V \frac{\partial \Psi_i}{\partial t} = (\sum_{k = 1}^n \dot{E}_{ik})_{ein}) - (\sum_{k = 1}^m \dot{E}_{ik})_{aus} + \omega_{E_i} V }$

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nachdem du nun weißt wie man die Energiebilanz erstellt, erklären wir dir im nächsten Kurstext ausführlich die mechanische Energie als Energiegleichung.

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