(ENT2 32) – Mengenbilanz – Energie

Nun wenden wir uns der Mengenbilanz zu und erklären dir was du als Techniker dafür wissen musst. Mit Hilfe der Mengenbilanz kannst du fundierte Aussagen zu vielen Prozessen treffen.

Mengenbilanz - Energieprozesse — Mengenbilanz – Energieprozesse

Mengenbilanz – Grundsätzliches

Die Bestimmung dieser Größe setzt ein paar Grundsätze voraus:

Die Größe des betrachteten Gebiets $\Delta V$ muss im Untersuchungszeitraum konstant bleiben.

sowie

Das System muss homogen sein, Inhomogenitäten verursachen Messungenauigkeiten.

sowie

Die Mengenkonzentration innerhalb des Untersuchungsgebiets wird als stetige Funktion beschrieben.

Mengenbilanz – Bilanzraum

In der nächsten Abbildung findest du einen Bilanzraum mit den eingetragenen Größen:

Mengenbilanz – Integrale Darstellung

Sind Punkt 1-3 erfüllt so erhalten wir für unseren Bilanzraum $Delta V$ als integrale Darstellung:

$\boxed{ \frac{\partial}{\partial t} \int_{\Delta V} cdV = \int_{\Delta F} \vec{\Phi} d \vec{f} + \int_{\Delta F} \omega d V }$

Kennzahlen:

$\boxed{c = }$ Mengenkonzentration für c(x, y, z)

sowie

$\boxed{\vec{\Phi} = }$ Mengenstromdichte, die austritt aus $\Delta V$ durch $\Delta \vec{f}$

sowie

$\boxed{\omega = }$ Umwandlungsrate pro Zeit und Volumeneinheit

undefiniert

Geht's vielleicht noch komplizierter?...

Eine integrale Darstellung ist zumeist rechenaufwendiger als eine differentielle Darstellung.

Mengenbilanz – Differentielle Darstellung

Aus diesem Grund wenden wir den Gauß’schen Satz an und erhalten als differentielle Gleichung als Ableitung:

$\boxed{\frac{\partial}{\partial t} \int_{\Delta V} cdV = - \int_{\Delta V} \div \vec{\Phi} d V + \int_{\Delta V} \omega d V }$

Merk's dir!

Diese differentielle Gleichung hat einen universellen Charakter, womit sie sich auf jedes Volumenelement anwenden lässt.

Mengenbilanz – partielle Differentialgleichung

Folglich bleibt es nur noch der Transfer zu einer partielle Differentialgleichung:

$\boxed{ \frac{\partial c}{\partial t} = - \nabla \vec{\Phi} + \Omega }$

Merk's dir!

In dieser Darstellung besteht für die Größen $c, \vec{Phi}$ und $w$ nur noch eine Abhängigkeit von der Zeit und den Ortskoordinaten. Um Abhängigkeiten zu reduzieren verwendet man die partielle (teilweise) Ableitung.

Davon ausgehend, dass für die Mengenkonzentration c eine Ortsunabhängigkeit vorliegt, vereinfacht sich unsere Gleichung zu:

$\boxed{ V \frac{\partial c}{\partial t} = (\sum_i \Phi_i)_{ein} + (\sum_j \Phi_j)_{aus} + \omega V }$

Kennzahlen:

$\boxed{\Phi_i = }$ in das Gebiet eintretender Strom

sowie

$\boxed{\Phi_j = }$ aus dem Gebiet austretender Strom

sowie

$\boxed{V = }$ Gebiet

Dass die Umwandlungsrate $omega$ und die Konzentration $c$ nur schwach ortsabhängig sind, erlaubt es uns entsprechende Mittelwerte $\omega_m, c_m$ zu bilden, die wir dann anstelle von $\omega, c$ verwenden:

$\boxed{ \omega_m = \frac{1}{V} \int_V \omega dV c_m = \frac{1}{V} \int_V c dV }$

Kennzahlen:

$\boxed{\omega_m = }$ Mittelwert der Umwandlungsrate

sowie

$\boxed{ c_m = }$ Mittelwert der Konzentration

Materialbilanzgleichung

Nun betrachten wir die Materialbilanz im Detail.

Materialbilanz - Pyrit — Materialbilanz – Pyrit

In der Materialbilanzgleichung kommt die Relation von Mengenkonzentration sowie Mengenstromdichte zum Ausdruck:

$\boxed{ V \frac{d \rho}{d t} = ( \sum_i \rho_i \dot{V}_i)_{ein} - ( \sum_j \rho_j \dot{V}_j)_{aus} + \omega V }$

dabei entsprechen

$\boxed{ \rho = \frac{dm}{dv}}$

sowie

$\boxed{ \vec{\omega} = \rho \vec{v} }$

Bilanzgleichung der Massenströme

Abschließend schauen wir uns noch die Gleichung für die Bilanzierung von Massenströmen an.

Massenstrombilanz - Rohr - Kanal — Massenstrombilanz – Rohr – Kanal

Nachdem wir nun sehr viel Vorarbeit geleistet haben, können wir nun die Massenströme bilanzieren. Hierzu definieren wir im ersten Schritt die Masse:

$\boxed{ m = \int_v \rho d V }$

und anschließend stellen wir die Bilanz für die Massenströme auf.

$\boxed{ \frac{dm}{dt} = ( \sum_i \dot{m}_i)_{ein} - ( \sum_j \dot{m}_j)_{aus} + \omega V }$

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