(ENT2 32) – Mengenbilanz – Energie

Inhaltsverzeichnis

Nun wenden wir uns der Mengenbilanz zu und erklären dir was du als Techniker dafür wissen musst. Mit Hilfe der Mengenbilanz kannst du fundierte Aussagen zu vielen Prozessen treffen. 

 

Mengenbilanz - Energieprozesse
Mengenbilanz – Energieprozesse

 


Mengenbilanz – Grundsätzliches


Die Bestimmung dieser Größe setzt ein paar Grundsätze voraus:

  • Die Größe des betrachteten Gebiets \Delta V muss im Untersuchungszeitraum konstant bleiben.

sowie

  • Das System muss homogen sein, Inhomogenitäten verursachen Messungenauigkeiten.

sowie

  • Die Mengenkonzentration innerhalb des Untersuchungsgebiets wird als stetige Funktion beschrieben.

 


Mengenbilanz – Bilanzraum


In der nächsten Abbildung findest du einen Bilanzraum mit den eingetragenen Größen:

 

Mengenbilanz - Energieprozesse
Mengenbilanz – Energieprozesse

 


Mengenbilanz – Integrale Darstellung


Sind Punkt 1-3 erfüllt so erhalten wir für unseren Bilanzraum Delta V als integrale Darstellung:

 \boxed{ \frac{\partial}{\partial t} \int_{\Delta V} cdV = \int_{\Delta F} \vec{\Phi} d \vec{f} + \int_{\Delta F} \omega d V }

 

Kennzahlen:

  •  \boxed{c = } Mengenkonzentration für c(x, y, z)

sowie

  •  \boxed{\vec{\Phi} = } Mengenstromdichte, die austritt aus \Delta V durch \Delta \vec{f}

sowie

  •  \boxed{\omega = } Umwandlungsrate pro Zeit und Volumeneinheit

 

undefiniert
Geht's vielleicht noch komplizierter?...

Eine integrale Darstellung ist zumeist rechenaufwendiger als eine differentielle Darstellung.

 

 


Mengenbilanz – Differentielle Darstellung


Aus diesem Grund wenden wir den Gauß’schen Satz an und erhalten als differentielle Gleichung als Ableitung:

 

 \boxed{\frac{\partial}{\partial t} \int_{\Delta V} cdV = - \int_{\Delta V} \div \vec{\Phi} d V + \int_{\Delta V} \omega d V }

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Diese differentielle Gleichung hat einen universellen Charakter, womit sie sich auf jedes Volumenelement anwenden lässt.

 


Mengenbilanz – partielle Differentialgleichung


Folglich bleibt es nur noch der Transfer zu einer partielle Differentialgleichung:

 

 \boxed{ \frac{\partial c}{\partial t} = - \nabla \vec{\Phi} + \Omega }

 

Merk's dir!
Merk's dir!

In dieser Darstellung besteht für die Größen c, \vec{Phi} und w nur noch eine Abhängigkeit von der Zeit und den Ortskoordinaten. Um Abhängigkeiten zu reduzieren verwendet man die partielle (teilweise) Ableitung

 

Davon ausgehend, dass für die Mengenkonzentration c eine Ortsunabhängigkeit vorliegt, vereinfacht sich unsere Gleichung zu:

 

 \boxed{ V \frac{\partial c}{\partial t} = (\sum_i \Phi_i)_{ein} + (\sum_j \Phi_j)_{aus} + \omega V }

 

Kennzahlen:

  •  \boxed{\Phi_i = } in das Gebiet eintretender Strom

sowie

  •  \boxed{\Phi_j = } aus dem Gebiet austretender Strom

sowie

  •  \boxed{V = } Gebiet

 

Dass die Umwandlungsrate omega und die Konzentration c nur schwach ortsabhängig sind, erlaubt es uns entsprechende Mittelwerte \omega_m, c_m zu bilden, die wir dann anstelle von \omega, c verwenden:

 

 \boxed{ \omega_m = \frac{1}{V} \int_V \omega dV c_m = \frac{1}{V} \int_V c dV }

 

Kennzahlen:

  •  \boxed{\omega_m = } Mittelwert der Umwandlungsrate

sowie

  •  \boxed{ c_m = } Mittelwert der Konzentration

 


Materialbilanzgleichung


Nun betrachten wir die Materialbilanz im Detail.

 

Materialbilanz - Pyrit
Materialbilanz – Pyrit

 

In der Materialbilanzgleichung kommt die Relation von Mengenkonzentration sowie Mengenstromdichte zum Ausdruck:

 

 \boxed{ V \frac{d \rho}{d t} = ( \sum_i \rho_i \dot{V}_i)_{ein} - ( \sum_j \rho_j \dot{V}_j)_{aus} + \omega V }

 

dabei entsprechen

  •  \boxed{ \rho = \frac{dm}{dv}}

sowie

  •  \boxed{ \vec{\omega} = \rho \vec{v} }


Bilanzgleichung der Massenströme


Abschließend schauen wir uns noch die Gleichung für die Bilanzierung von Massenströmen an.

 

Massenstrombilanz - Rohr - Kanal
Massenstrombilanz – Rohr – Kanal

 

Nachdem wir nun sehr viel Vorarbeit geleistet haben, können wir nun die Massenströme bilanzieren. Hierzu definieren wir im ersten Schritt die Masse:

 

 \boxed{ m = \int_v \rho d V }

 

und anschließend stellen wir die Bilanz für die Massenströme auf.

 

 \boxed{ \frac{dm}{dt} = ( \sum_i \dot{m}_i)_{ein} - ( \sum_j \dot{m}_j)_{aus} + \omega V }

 

 



wie gehts weiter
Wie geht's weiter?

Nachdem du nun weißt was eine Mengenbilanz ist und wie du damit umzugehen hast, macht es Sinn, dass wir dir im nächsten Kurstext Bilanzierung chemischer Prozesse vorstellen.

 

Trainingsbereich

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