(ENT2 32) – Mengenbilanz – Energie

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Nun wenden wir uns der Mengenbilanz zu und erklären dir was du als Techniker dafür wissen musst. Mit Hilfe der Mengenbilanz kannst du fundierte Aussagen zu vielen Prozessen treffen. 

 

Mengenbilanz - Energieprozesse
Mengenbilanz – Energieprozesse

 


Mengenbilanz – Grundsätzliches


Die Bestimmung dieser Größe setzt ein paar Grundsätze voraus:

  • Die Größe des betrachteten Gebiets \Delta V muss im Untersuchungszeitraum konstant bleiben.

sowie

  • Das System muss homogen sein, Inhomogenitäten verursachen Messungenauigkeiten.

sowie

  • Die Mengenkonzentration innerhalb des Untersuchungsgebiets wird als stetige Funktion beschrieben.

 


Mengenbilanz – Bilanzraum


In der nächsten Abbildung findest du einen Bilanzraum mit den eingetragenen Größen:

 

Mengenbilanz - Energieprozesse
Mengenbilanz – Energieprozesse

 


Mengenbilanz – Integrale Darstellung


Sind Punkt 1-3 erfüllt so erhalten wir für unseren Bilanzraum Delta V als integrale Darstellung:

 \boxed{ \frac{\partial}{\partial t} \int_{\Delta V} cdV = \int_{\Delta F} \vec{\Phi} d \vec{f} + \int_{\Delta F} \omega d V }

 

Kennzahlen:

  •  \boxed{c = } Mengenkonzentration für c(x, y, z)

sowie

  •  \boxed{\vec{\Phi} = } Mengenstromdichte, die austritt aus \Delta V durch \Delta \vec{f}

sowie

  •  \boxed{\omega = } Umwandlungsrate pro Zeit und Volumeneinheit

 

undefiniert
Geht's vielleicht noch komplizierter?...

Eine integrale Darstellung ist zumeist rechenaufwendiger als eine differentielle Darstellung.

 

 


Mengenbilanz – Differentielle Darstellung


Aus diesem Grund wenden wir den Gauß’schen Satz an und erhalten als differentielle Gleichung als Ableitung:

 

 \boxed{\frac{\partial}{\partial t} \int_{\Delta V} cdV = - \int_{\Delta V} \div \vec{\Phi} d V + \int_{\Delta V} \omega d V }

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Diese differentielle Gleichung hat einen universellen Charakter, womit sie sich auf jedes Volumenelement anwenden lässt.

 


Mengenbilanz – partielle Differentialgleichung


Folglich bleibt es nur noch der Transfer zu einer partielle Differentialgleichung:

 

 \boxed{ \frac{\partial c}{\partial t} = - \nabla \vec{\Phi} + \Omega }

 

Merk's dir!
Merk's dir!

In dieser Darstellung besteht für die Größen c, \vec{Phi} und w nur noch eine Abhängigkeit von der Zeit und den Ortskoordinaten. Um Abhängigkeiten zu reduzieren verwendet man die partielle (teilweise) Ableitung

 

Davon ausgehend, dass für die Mengenkonzentration c eine Ortsunabhängigkeit vorliegt, vereinfacht sich unsere Gleichung zu:

 

 \boxed{ V \frac{\partial c}{\partial t} = (\sum_i \Phi_i)_{ein} + (\sum_j \Phi_j)_{aus} + \omega V }

 

Kennzahlen:

  •  \boxed{\Phi_i = } in das Gebiet eintretender Strom

sowie

  •  \boxed{\Phi_j = } aus dem Gebiet austretender Strom

sowie

  •  \boxed{V = } Gebiet

 

Dass die Umwandlungsrate omega und die Konzentration c nur schwach ortsabhängig sind, erlaubt es uns entsprechende Mittelwerte \omega_m, c_m zu bilden, die wir dann anstelle von \omega, c verwenden:

 

 \boxed{ \omega_m = \frac{1}{V} \int_V \omega dV c_m = \frac{1}{V} \int_V c dV }

 

Kennzahlen:

  •  \boxed{\omega_m = } Mittelwert der Umwandlungsrate

sowie

  •  \boxed{ c_m = } Mittelwert der Konzentration

 


Materialbilanzgleichung


Nun betrachten wir die Materialbilanz im Detail.

 

Materialbilanz - Pyrit
Materialbilanz – Pyrit

 

In der Materialbilanzgleichung kommt die Relation von Mengenkonzentration sowie Mengenstromdichte zum Ausdruck:

 

 \boxed{ V \frac{d \rho}{d t} = ( \sum_i \rho_i \dot{V}_i)_{ein} - ( \sum_j \rho_j \dot{V}_j)_{aus} + \omega V }

 

dabei entsprechen

  •  \boxed{ \rho = \frac{dm}{dv}}

sowie

  •  \boxed{ \vec{\omega} = \rho \vec{v} }


Bilanzgleichung der Massenströme


Abschließend schauen wir uns noch die Gleichung für die Bilanzierung von Massenströmen an.

 

Massenstrombilanz - Rohr - Kanal
Massenstrombilanz – Rohr – Kanal

 

Nachdem wir nun sehr viel Vorarbeit geleistet haben, können wir nun die Massenströme bilanzieren. Hierzu definieren wir im ersten Schritt die Masse:

 

 \boxed{ m = \int_v \rho d V }

 

und anschließend stellen wir die Bilanz für die Massenströme auf.

 

 \boxed{ \frac{dm}{dt} = ( \sum_i \dot{m}_i)_{ein} - ( \sum_j \dot{m}_j)_{aus} + \omega V }

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