(ENT2 30) – Erhaltungsgleichungen energetischer Prozesse

Inhaltsverzeichnis

In diesem Kurstext erklären wir dir als angehenden Techniker ausführlich die Erhaltungsgleichung energetische Prozesse.

 

Erhaltungsgleichungen - Impuls
Erhaltungsgleichungen – Impuls

 

 

undefiniert
Noch einen Nachschlag? - Nein, danke! Lieber nicht...

Stell dir vor, dass du im Ring stehst und dein Gegner attackiert dich. Mit jedem Schlag den du einstecken musst, überträgt dein Gegner Energie auf dich – Die Energie geht also nicht verloren, sondern bleibt erhalten. Diesen Umstand beschreibt eine Erhaltungsgleichung 

 


Erhaltungsgleichung – Grundsätzliches


Um die Transporte von Massen, Energie oder Impulsen in technischen Systemen/ Anlagen genau beschreiben zu können, verwendet man Erhaltungsgleichungen.

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Erhaltungsgleichungen sind, durch partielle Differentialgleichung gekennzeichnete, Darstellungen.

 

Der mathematische Umfangs solcher Berechnungen ist besonders hoch. Daher erfolgt eine Bestimmung in den meisten Fällen näherungsweise sowie numerisch.

 

Nachfolgend betrachten wir:

 

  • Kontinuitätsgleichung,

sowie

  • Impulsgleichung,

sowie

  • Energiegleichung

 


Erhaltungsgleichung – Kontinuitätsgleichung


Die Kontiniutätsgleichung, als Grundgleichung, eignet sich besonders zur Beschreibung von instationären Vorgängen in kompressiblen als auch inkompressiblen Medien.

 

Im Fall eines kompressiblen Mediums und unter der Annahme, dass temperaturunabhängige Stoffwerte und Konzentrationen vorliegen, gilt:

 

 \boxed{ \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla (\rho \vec{v}) = 0 },

 

 \boxed{ \frac{\partial p}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\rho \vec{v}_x) + \frac{\partial}{\partial y}(\rho \vec{v}_y) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho \vec{v}_z) }

inkl. Kartesischen Koordinaten

 

Kennzahlen

 \boxed{t = } Zeit

sowie

 \boxed{\rho =} Dichte

sowie

 \boxed{\vec{v} = } Geschwindigkeit

 


Impulsgleichung


Die Impulsgleichung setzt die Trägheitskräfte, d. h. die zeitliche Impulsänderung und den mit der Strömung mitgeführten Impuls, mit den Druckkräften, der Schwerkraft und gegebenenfalls der Zähigkeitskraft ins Gleichgewicht. In der allgemeinen Form gilt:

 

 \boxed{ \frac{\partial}{\partial t} (p \vec{v}) + \nabla p \vec{v} \vec{v} = - \nabla p + p \vec{g} + \vec{X} }

 

Kennzahlen:

 \boxed{ g = } Erdbeschleunigung

sowie

 \boxed{X =} Äußere Kräfte

sowie

 \boxed{p = } Druck

 

Gilt 1:

 \boxed{ \vec{X} = 0 } – so erhalten wir die Eulersche Gleichung.

 

Gilt 2:

 \boxed{ \vec{X} = \eta \nabla^2 \vec{v} } – so liegt die Navier-Stokes-Gleichung vor, zumal die Zähigkeit des Fluids mit \eta berücksichtigt wird.

 


Impulsgleichungen für drei Richtungen


In kartesischen Koordinaten (drei Richtungen) formulieren wir dann folgende drei Impulsgleichungen:

 

Impulsgleichung – in X-Richtung, dann gilt:

 \boxed{ \frac{\partial}{\partial t} (\rho \vec{v}_x) + \frac{\partial}{\partial x} (\rho v_x v_x) + \frac{\partial}{\partial y} (\rho v_x v_y) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho v_x v_z) = - \rho g_x - \frac{\partial p}{\partial x} + X_x }

 

Impulsgleichung – in Y-Richtung, dann gilt:

 \boxed{ \frac{\partial}{\partial t} (\rho \vec{v}_y) + \frac{\partial}{\partial y} (\rho v_y v_x) + \frac{\partial}{\partial y} (\rho v_y v_y) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho v_y v_z) = - \rho g_y - \frac{\partial p}{\partial y} + X_y }

 

Impulsgleichung – in  Z-Richtung, dann gilt:

 \boxed{ \frac{\partial}{\partial t} (\rho \vec{v}_z) + \frac{\partial}{\partial x} (\rho v_z v_x) + \frac{\partial}{\partial y} (\rho v_z v_y) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho v_z v_z) = - \rho g_z - \frac{\partial p}{\partial z} + X_z }

 


Energiegleichung


Nun stellen wir im letzten Schritt die Energiegleichung auf:

 

 \boxed{ \frac{\partial}{\partial t} (\rho ( u + \frac{v^2}{2})) + \nabla \rho \vec{v} (u + \frac{v^2}{2}) = - \nabla \rho \vec{v} + \nabla \lambda \nabla T + \dot{Q} + \rho \vec{v} \vec{g} }

 

Terme – Erläuterung

Hinter den Termen rechts vom Gleichheitszeichen stecken Größen, die wir dir nachfolgend aufgelistet haben:

  •  \boxed{ - \nabla \rho \vec{v} = } Differentielle Arbeit pdv

sowie

  •  \boxed{\nabla \lambda \nabla T =} Wärmeübertragung durch die Leitung

sowie

  •  \boxed{\dot{Q} =} Wärmequelle oder Wärmesenke [jeweils volumetrische]

sowie

  •  \boxed{\rho \vec{v} \vec{g} = }  Potentielle Energie

 

Eine Vereinfachung dieser Gleichung stellt die nachfolgende partielle Differentialgleichung für den Wärmetransport dar:

 

 \boxed{ \rho c (\frac{\partial T}{\partial t} + v_x \frac{\partial T}{\partial x} + v_y \frac{\partial T}{\partial y} + v_z \frac{\partial T}{\partial z}) = \lambda \cdot (\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}) + \dot{Q} }

 


Erläuterung der Energiegleichung


  • Auf der linken Seite vom Gleichheitszeichen sind die Änderung der inneren Energie im Zeitverlauf sowie der Energietransport durch Mitführung in der Strömung bilanziert.

sowie

  • Auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen hingegen sind finden sich der Energietransport durch Wärmeleitung sowie die gegebene Wärmequelle/-senke wieder.

sowie

  • Selbst jetzt ist die Berechnung einzelner Größen noch äußerst umfangreich. Daher führen wir im kommenden Kurstext einfache Bilanzgleichungen ein.

 

Wir unterscheiden dabei

  • Bilanzgleichungen für Mengenbilanzen von
  • Bilanzgleichungen für Energiebilanzen.

 

 



wie gehts weiter
Wie geht's weiter?

Nachdem wir dir jetzt die Erhaltungsgleichung vorgestellt haben, folgen im nächsten Kurstext die Bilanzgleichungen.

 

Trainingsbereich

Übrigens….. Als “Mitglied unserer Technikermathe-Community” findest du unter jedem Kurstext zusätzlich einen Trainingsbereich mit vielen interaktiven Übungsaufgaben zur Wissensvertiefung, sowie eine umfangreiche Formelsammlung und Probeklausur am Ende eines jeden Kurses.

 

Was ist Technikermathe.de?

Unser Dozent Jan erklärt es dir in nur 2 Minuten!

Oder direkt den >> kostenlosen Probekurs << durchstöbern? – Hier findest du Auszüge aus jedem unserer Kurse!

Mehr für dich!

Hat dir dieses Thema gefallen?Ja? – Dann schaue dir auch gleich die anderen Themen zu den Kursen
ENT3 (Energetische Berechnungen) und
TM1 (Technische Mechanik – Statik) an. 

Onlinekurs - Technische MechanikOnlinekurs Energetische Berechnung

Perfekte Prüfungsvorbereitung für nur 19,90 EUR/Jahr pro Onlinekurs 
 ++ Günstiger geht’s nicht!! ++

 Oder direkt >> Mitglied  << werden und >> Zugriff auf alle 22 Kurse << (inkl. >> Webinare << + Unterlagen) sichern ab 8,90 EUR/Monat 
++ Besser geht’s nicht!! ++

 

Kennst du eigentlich schon unseren YouTube-Channel? – Nein? – Dann schau super gerne vorbei:

Technikermathe auf Youtube 

Immer auf dem neuesten Stand sein? – Ja? – Dann besuche uns doch auch auf

Technikermathe auf Instagram



Dein Technikermathe.de-Team

Uns gibts auch auf YouTube!

Undzwar mit aktuell über 400 Lernvideos und allen Aufzeichnungen von unseren Webinaren!

Lass uns ein Abo da!

Wenn dir unsere Videos gefallen! Damit hilfst du uns echt mega und es kostet dich keinen Cent!
Zum YouTube Kanal

Schon gewusst?

Aktuell bieten wir über 2500 Lerntexte in über 20 Kursen zu den verschiedensten Themen an! Als Technikermathe.de Mitglied hast du vollen Zugriff auf alle Lerninhalte!
0
    0
    Dein Warenkorb
    Dein Einkaufswagen ist leer.Zurück zum Shop