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Lektion 1, Thema 1

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(TM2-04-3) Hookesche Gesetz

Jan (Kontakt)

JANS ABSCHRIFT

und dann

Aus den Messewerten des Zugsversuchs kann der Elastizitätsmodul bestimmt werden.

Elastizitätsmodul berechnen

Du kannst also den Elastizitätsmodul aus den Messwerten des Zugsversuch für unterschiedliche Materialien bestimmen. Du kannst – bei gegebenem Ausgangsquerschnitt, Längenänderung sowie Ausgangslänge – den Elastizitätsmodul auch rechnerisch bestimmen.

Zunächst einmal gilt das Hookesche Gesetz:

$\boxed{\sigma = E \cdot \epsilon}$ Hookesche Gesetz

Die Normalspannung $\sigma$ für einen Zugstab wird bestimmt zu:

I. $\boxed{\sigma = \dfrac{F}{A_o}}$

mit

$F$ Zugkraft am Stab

$A_0$ Ausgangsquerschnitt des Stabs

Die konstante Dehnung wird bestimmt zu:

II. $\boxed{\epsilon = \dfrac{\triangle l}{L_0}}$

mit

$\triangle l$ Längenänderung des Stabs

$L_0$ Ausgangslänge des Stabs

Wir lösen zunächst das Hookesche Gesetz nach dem gesuchten Elastiztätsmodul auf:

$\boxed{E = \dfrac{\sigma}{\epsilon}}$

Und dann Gleichung I und II dort ein:

$\boxed{E = \dfrac{\dfrac{F}{A_o}}{\dfrac{\triangle l}{L_0}}}$

Es ergibt sich:

$\boxed{E = \dfrac{F \cdot L_0}{A_0 \cdot \triangle l}}$

Beispiel: Berechnung des Elastizitätsmoduls

Aufgabenstellung

Ein Stab der Länge $L_0 = 1,5m$ mit einem konstanten Querschnitt $A_0 = 4 cm^2$ wird durch eine Zugkraft $F = 8 kN$ belastet. Die Längenänderung beträgt $\triangle l = 0,16mm$ !

Wie groß ist der Elastizitätsmodul?

Lösung

Zunächst müssen wir die Einheiten in SI-Einheiten umrechnen:

$A_0 = 4 cm^2 = 0,0004m^2$

$F = 8.000 N$

$\triangle l = 0,16mm = 0,00016m$

Einsetzen in die obige Gleichung ergibt:

$\boxed{E = \dfrac{8.000 N \cdot 1,5m}{0,0004m^2 \cdot 0,00016m } = 1,875 \cdot 10^{11} Pa = 187.500 MPa}$