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Lektion 1, Thema 1
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(TM2-03-3) Prüfungsaufgaben: Dehnung im Stab


Prüfungsaufgabe 1: Längenänderung berechnen


Aufgabenstellung

Gegeben sei ein Stab mit der Länge l = 1,2m, welcher infolge einer Zugkraft verlängert wird. Die dadurch resultierende Dehnung sei linear und gegeben mit:

\epsilon(x) = 0,005 \cdot \dfrac{x}{l}

Bestimme die Längenänderung!

Lösung

Zur Berechnung der Längenänderung wenden wir die folgende Gleichung an:

\triangle l = \int_0^l \epsilon(x) \; dx

 

Wir setzen als nächstes die örtliche Dehnung ein:

\triangle l = \int_0^l  0,005 \cdot \dfrac{x}{l} \; dx

 

Als nächstes führen wir die Integration durch:

\triangle l = \int_0^l  0,005 \cdot \dfrac{x}{l} \; dx

 

Konstanten vor das Integral ziehen:

\triangle l = \dfrac{0,005}{l} \int_0^l  x \; dx

 

Integration durchführen:

\triangle l = \dfrac{0,005}{l} [\dfrac{1}{2} x^2 ]_0^l

\triangle l = \dfrac{0,005}{l} [\dfrac{1}{2} l^2 - \dfrac{1}{2} 0^2 ]

\triangle l = \dfrac{0,005}{l} \dfrac{1}{2} l^2

\triangle l = 0,0025 l

 

Die Ausgangslänge beträgt l = 1,2m:

\triangle l = 0,0025 \cdot 1,2m = 0,003m

 

Die Längenänderung ist gegeben mit 0,003m. Damit Verlängert sich der Stab um 0,003m auf 1,203m.

 


Prüfungsaufgabe 2: Örtliche Dehnung berechnen


Aufgabenstellung

Gegeben sei ein Stab der Länge l. Die Verschiebung, also die Längenänderung sei gegeben mit der folgenden Funktion:

u(x) = u_0 \cdot (\dfrac{x}{l})^3

Gegeben seien außerdem die folgenden Zahlenwerte:

u_0 = 0,003m, l = 1,5m

  1. Bestimme die Längenänderung \triangle l!
  2. Wie groß ist die Dehnung an den Stelllen x/l = 0,4 und x/l = 0,8?

 

Lösung
  1. Längenänderung bestimmen

Zunächst bestimmen wir die Längenänderung wie folgt:

\triangle l = u(l) - u(0)

Wir setzen also zunächst x = l = 1,5m und dann x = 0 und ziehen die beiden Ergebnisse voneinander ab:

u(1,5m) = 0,003m \cdot (\dfrac{1,5m}{1,5m})^3 = 0,003m

u(0) = 0,003m \cdot (\dfrac{0}{1,5m})^3 = 0

 

Es ergibt sich damit eine Längenänderung von:

\triangle l = 0,003m - 0 = 0,003m

 

  1. Dehnung bestimmen

Im nächsten Schritt bestimmen die Dehnung \epsilon(x). Dazu müssen wir zunächst die Dehnung mittels der folgenden Gleichung bestimmen:

\epsilon (x) = u'(x)

 

Wir leiten also die Verschiebungsfunktion u(x) ab und erhalten damit den Dehnungsverlauf:

\epsilon(x) = u'(x) = 3 \cdot u_0 \cdot (\dfrac{x}{l})^2

 

Nachdem wir den Dehnungsverlauf allgemein bestimmt haben, wollen wir als nächstes die Dehnung an den Stellen x/l = 0,5 und x/l = 1 bestimmen:

\epsilon(x) = 0,009m \cdot (0,5)^2 = 0,00225

\epsilon(x) = 0,009m \cdot (0,5)^2 = 0,009

 

Die Dehnung an der Stelle x/l = 0,5 (genau mittig) beträgt 0,225% und an der Stelle x/l = 1 (am rechten Rand) beträgt 0,9%.

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