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Lektion 1, Thema 1
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(TM2-03-2) Örtliche Dehnung

Ist eine örtliche Dehnung gegeben, so ist die Dehnung nicht mehr im gesamten Stab konstant. Wir müssen dann ein Stabelement betrachten, um die Gleichung für die örtliche Dehnung herzuleiten.

In der obigen Grafik ist ein Stab der Länge l gegeben. Wir betrachten zunächst ein infinitesimal kleines Element des Stabes im unbelasteten Zustand mit der Länge dx. Die linke Querschnittsfläche ist also mit Position x gegeben, die rechte Querschnittsfläche mit der Position x + dx.

örtliche dehnung

Wir betrachten im nächsten Schritt eine Verlängerung des Stabes z.B. durch eine Zugkraft. Damit verschieben sich die Querschnittsflächen am linken und rechten Rand des Stabelements. Die Verschiebung des linken Querschnitts bezeichnen wir mit u, die Verschiebung am rechten Querschnitt mit u + du.

Wir können aus diesen Angaben nun die Länge des Stabelements berechnen:

dx - u + (u + du) = dx - u + u + du = dx + du

 

Die neue Länge des Stabelements beträgt also dx + du. Hierbei ist dx die Ausgangslänge und damit du die Längenänderung.

 

Die Dehnung ist allgemein der Quotient aus Längenänderung du und Ausgangslänge dx:

 \boxed{\epsilon(x) = \dfrac{du}{dx}}  Örtliche Dehnung

 

Ist die Verschiebung u(x) gegeben, so können wir durch Differenzieren (Ableiten) der Funktion nach x die örtliche Dehnung \epsilon (x) berechnen:

\epsilon (x) = \dfrac{du}{dx}} = u'(x)

 

Ist die örtliche Dehnung \epsilon(x) gegeben, so kannst du die Verschiebung u(x) aus der obigen Gleichung bestimmmen. Dazu löst du diese zunächst nach du auf:

du = \epsilon(x)  dx

 

Danach kannst du durch die Integration die Verschiebung u(x) bestimmen:

\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx

 u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon(x) \; dx

 

Hierbei ist u(l) – u(0) nichts anderes als die Längenänderung des Stabes:

 \boxed{\triangle l = \int_0^l \epsilon(x) \; dx}   Längenänderung bei örtlicher Dehnung

 

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Im folgenden Abschnitt zeigen wir dir anhand von zwei Aufgaben, wie du die örtliche Dehnung bzw. die Längenänderung berechnen kannst. 

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