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Lektion 1, Thema 1
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Kräftezerlegung (Ph2)

Nachdem wir gezeigt haben, wie zwei Kräfte zu einer einzigen Kraft zusammengefasst werden, wollen wir uns in diesem Lerntext anschauen, wie eine Kraft in zwei Kräfte zerlegt wird. Dieses Vorgehen bezeichnet man auch als Kräftezerlegung.

Merk's dir!
Merk's dir!
Die Kräftezerlegung ist für spätere Berechnungen sehr wichtig. Deswegen ist es notwendig, dass du diese Methode sicher beherrschst.

Schauen wir uns nun an, wie eine Kraft in zwei Kräfte zerlegt wird. Die beiden Kräfte ersetzen dabei die gegebene Kraft. Stellen dir dazu eine Kiste vor, an welche eine Kraft F angreift:

Zerlegung einer Kraft
Kräftezerlegung

Auf die obige Kiste wirkt die Kraft F mit einem Winkel α zur Horizontalen (gestrichelte Linie). Für die analytische Berechnung muss immer der Winkel von der gegebenen Kraft zur Horizontalen oder zur Vertikalen gegeben sein, damit die Kräftezerlegung durchgeführt werden kann.


Vorgehensweise: Kräftezerlegung


Schritt 1:  Gegebene Kraft mit Anfangspunkt in ein x,y-Koordinatensystem legen. Gegebenfalls Winkel zur x-Achse bestimmen.

Schritt 2: Unter Anwendung von Sinus und Kosinus wird die gegebene Kraft in eine Kraftkomponente in x-Richtung und in y-Richtung zerlegt.

Schritt 3:  Die beiden berechneten Kräfte ersetzen die alte Kraft.


Schritt 1: Koordinatensystem


Kräftezerlegung
Koordinatensystem

Die gegebene Kraft wird mit ihrem Anfangspunkt in den Koordinatenursprung gelegt. Dabei wird der Winkel mit eingezeichnet. Ist der Winkel zur Vertikalen gegeben, so kannst du den Winkel zur Horizontalen einfach berechnen, indem du diesen von 90° abziehst. Es sollte also immer der Winkel von der gegebenen Kraft zur Horizontalen (also zur x-Achse) betrachtet werden.


Schritt 2: Kräftezerlegung


Im 2. Schritt geht es um die eigentliche Kräftezerlegung. Wir wollen die gegebene Kraft in die beiden Kräfte Fx (in x-Richtung) und Fy (in y-Richtung) zerlegen:

Kräftezerlegung
Komponenten

Hierfür benötigen wir den Sinus und den Kosinus des gegebenen Winkels. Dabei gilt:

  • Ist der eingeschlossene Winkel von der Kraft zur x-Achse gegeben, so ist F_x die Ankathete und wird mittels Kosinus berechnet. In diesem Fall wird F_y mittels Sinus berechnet.
  • Ist der eingeschlossene Winkel von der Kraft zur y-Achse gegeben, so ist F_y die Ankathete und wird mittels Kosinus berechnet. In diesem Fall wird F_x mittels Sinus berechnet.
Merk's dir!
Merk's dir!
Merk dir Fall 1 und berechne immer den Winkel von der gegebenen Kraft F zur x-Achse. So kannst du die Kräftezerlegung immer wie folgt durchführen: F_x = F \cdot \cos(\alpha) F_y = F \cdot \sin(\alpha)

Schritt 3: Kraft ersetzen


Kräftezerlegung
Komponenten

In der obigen Grafik haben wir die Kraft F durch ihre beiden Komponenten ersetzt. Die beiden Kräfte F_x und F_y üben dieselbe Wirkung auf die Kiste aus, wie die beiden Kräfte zusammen.

Merk's dir!
Merk's dir!
Bei der späteren Berechnung der Auflagerkräfte musst du wissen, wie eine Kraft in ihre zwei Komponenten zerlegt wird. Ist also in der Aufgabenstellung eine Kraft mit Winkel gegeben, so musst du diese zunächst in ihre beiden Komponenten zerlegen und die Kraft mit Winkel ersetzen. Danach kannst du die Gleichgewichtsbedingungen anwenden. Die folgende PDF zeigt dir nochmal, wie du eine Kräftezerlegung durchführst: https://technikermathe.de/wp-content/uploads/2020/03/vorgehen-kraeftezerlegung.pdf

Video: Kräftezerlegung

Im folgenden Video schauen wir uns die Kräftezerlegung an.


Lernclip
Zerlegung einer Kraft

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an.


Beispiel: Kräftezerlegung


Im folgenden Beispiel lernst du, wie du eine Kraft in ihre beiden Komponenten zerlegst:

Beispiel 1: Zerlegung einer Kraft im 2. Quadranten

Beispiel 2: Zerlegung einer Kraft im


Beispiel 1: Zerlegung einer Kraft


Aufgabenstellung

Kräftezerlegung, Beispiel
Beispiel: Kräftezerlegung

Gegeben sei eine Kiste, an welche die Kraft F = 150 N mit einem Winkel von 35° zur Horizontalen angreift.

Führe eine Kräftezerlegung durch!

Lösung

1.Schritt: Koordinatensystem

Beispiel Kräftezerlegung
Beispiel 1

Zunächst wird die Kraft mit dem Anfangspunkt in das Koordinatensystem legen. Die Kraft befindet sich im 2. Quadranten (siehe Grafik).

2.Schritt: Kraftkomponenten berechnen

Schritt 2 - Komponenten berechnen

Da der Winkel zur x-Achse gegeben ist, ist Fx die Ankathete und wird mit dem Kosinus berechnet. Fy wird somit mit dem Sinus berechnet:

F_x = F \cdot \cos(35^\circ) = 150 N \cdot \cos(35^\circ) = 122,87 N

F_y = F \cdot \sin(35^\circ) = 150 N \cdot \sin(35^\circ) = 86,04 N

Die Kraftkomponente Fxist größer als Fy. Das liegt daran, weil die gegebene Kraft F näher an der x-Achse liegt als an der y-Achse. Damit ist die Wirkung in x-Richtung größer als in y-Richtung.

3.Schritt: Kraft ersetzen

Kräfterzelgung, Techniker, Nachhilfe

Im dritten und letzten Schritt wird die Kraft F durch die beiden berechneten Kraftkomponenten ersetzt. Diese üben dieselbe Wirkung auf die Kiste aus.


Beispiel 2 : Zerlegung einer Kraft im 1. Quadranten


Aufgabenstellung

Zerlegung einer Kraft
Kräftezerlegung

Gegeben sei die obige Kiste, an welche die Kraft F = 100 N angreift.

Führe eine Kräftezerlegung durch!

Lösung

1.Schritt: Koordinatensystem

Zunächst legen wir die Kraft Fmit dem Anfangspunkt in den Koordinatenursprung. Die Kraft F liegt im 1. Quadranten.

Gegeben ist der Winkel von der Kraft Fzur Vertikalenmit 35°. Wir berechnen den Winkel zur Horizontalen:

90^\circ - 35^\circ = 55^\circ

2.Schritt: Komponenten berechnen

Jetzt können wir die x-Komponente mit dem Kosinus berechnen und die y-Komponente mit dem Sinus.

F_x = F \cdot \cos(55^\circ) = 100 N \cdot \cos(55^\circ) = 57,36 N

F_y = F \cdot \sin(55^\circ) = 100 N \cdot \sin(55^\circ) = 581,92 N

3.Schritt: Kraft F ersetzen

Kräftezerlegung, Lösung
Ergebnis der Kräftezerlegung

Wir ersetzen nun die Kraft F durch ihre beiden Komponenten:

Übungsaufgaben: Kräftezerlegung

Löse die folgenden Übungsaufgaben um deinen Wissensstand zu überprüfen und Punkte zu sammeln!



Test 1
Test 2
wie gehts weiter
Wie geht's weiter?
In der folgenden Lerneinheit geben wir dir eine Übersicht über die Gleichungen, die du für die Berechnung der Resultierenden aus zwei Kräften benötigst.

Nachdem wir gezeigt haben, wie zwei Kräfte zu einer einzigen Kraft zusammengefasst werden, wollen wir uns in diesem Lerntext anschauen, wie eine Kraft in zwei Kräfte zerlegt wird. Dieses Vorgehen bezeichnet man auch als Kräftezerlegung.

Merk's dir!
Merk's dir!
Die Kräftezerlegung ist für spätere Berechnungen sehr wichtig. Deswegen ist es notwendig, dass du diese Methode sicher beherrschst.

Schauen wir uns nun an, wie eine Kraft in zwei Kräfte zerlegt wird. Die beiden Kräfte ersetzen dabei die gegebene Kraft. Stellen dir dazu eine Kiste vor, an welche eine Kraft F angreift:

Zerlegung einer Kraft
Kräftezerlegung

Auf die obige Kiste wirkt die Kraft F mit einem Winkel α zur Horizontalen (gestrichelte Linie). Für die analytische Berechnung muss immer der Winkel von der gegebenen Kraft zur Horizontalen oder zur Vertikalen gegeben sein, damit die Kräftezerlegung durchgeführt werden kann.


Vorgehensweise: Kräftezerlegung


Schritt 1:  Gegebene Kraft mit Anfangspunkt in ein x,y-Koordinatensystem legen. Gegebenfalls Winkel zur x-Achse bestimmen.

Schritt 2: Unter Anwendung von Sinus und Kosinus wird die gegebene Kraft in eine Kraftkomponente in x-Richtung und in y-Richtung zerlegt.

Schritt 3:  Die beiden berechneten Kräfte ersetzen die alte Kraft.


Schritt 1: Koordinatensystem


Kräftezerlegung
Koordinatensystem

Die gegebene Kraft wird mit ihrem Anfangspunkt in den Koordinatenursprung gelegt. Dabei wird der Winkel mit eingezeichnet. Ist der Winkel zur Vertikalen gegeben, so kannst du den Winkel zur Horizontalen einfach berechnen, indem du diesen von 90° abziehst. Es sollte also immer der Winkel von der gegebenen Kraft zur Horizontalen (also zur x-Achse) betrachtet werden.


Schritt 2: Kräftezerlegung


Im 2. Schritt geht es um die eigentliche Kräftezerlegung. Wir wollen die gegebene Kraft in die beiden Kräfte Fx (in x-Richtung) und Fy (in y-Richtung) zerlegen:

Kräftezerlegung
Komponenten

Hierfür benötigen wir den Sinus und den Kosinus des gegebenen Winkels. Dabei gilt:

  • Ist der eingeschlossene Winkel von der Kraft zur x-Achse gegeben, so ist F_x die Ankathete und wird mittels Kosinus berechnet. In diesem Fall wird F_y mittels Sinus berechnet.

  • Ist der eingeschlossene Winkel von der Kraft zur y-Achse gegeben, so ist F_y die Ankathete und wird mittels Kosinus berechnet. In diesem Fall wird F_x mittels Sinus berechnet.

Merk's dir!
Merk's dir!
Merk dir Fall 1 und berechne immer den Winkel von der gegebenen Kraft F zur x-Achse. So kannst du die Kräftezerlegung immer wie folgt durchführen: F_x = F \cdot \cos(\alpha) F_y = F \cdot \sin(\alpha)


Schritt 3: Kraft ersetzen


Kräftezerlegung
Komponenten

In der obigen Grafik haben wir die Kraft F durch ihre beiden Komponenten ersetzt. Die beiden Kräfte F_x und F_y üben dieselbe Wirkung auf die Kiste aus, wie die beiden Kräfte zusammen.

Merk's dir!
Merk's dir!
Bei der späteren Berechnung der Auflagerkräfte musst du wissen, wie eine Kraft in ihre zwei Komponenten zerlegt wird. Ist also in der Aufgabenstellung eine Kraft mit Winkel gegeben, so musst du diese zunächst in ihre beiden Komponenten zerlegen und die Kraft mit Winkel ersetzen. Danach kannst du die Gleichgewichtsbedingungen anwenden. Die folgende PDF zeigt dir nochmal, wie du eine Kräftezerlegung durchführst: https://technikermathe.de/wp-content/uploads/2020/03/vorgehen-kraeftezerlegung.pdf

Video: Kräftezerlegung

Im folgenden Video schauen wir uns die Kräftezerlegung an.


Lernclip
Zerlegung einer Kraft

Schauen wir uns dazu mal ein Beispiel an.


Beispiel: Kräftezerlegung


Im folgenden Beispiel lernst du, wie du eine Kraft in ihre beiden Komponenten zerlegst:

Beispiel 1: Zerlegung einer Kraft im 2. Quadranten

Beispiel 2: Zerlegung einer Kraft im


Beispiel 1: Zerlegung einer Kraft


Aufgabenstellung

Kräftezerlegung, Beispiel
Beispiel: Kräftezerlegung

Gegeben sei eine Kiste, an welche die Kraft F = 150 N mit einem Winkel von 35° zur Horizontalen angreift.

Führe eine Kräftezerlegung durch!

Lösung

1.Schritt: Koordinatensystem

Beispiel Kräftezerlegung
Beispiel 1

Zunächst wird die Kraft mit dem Anfangspunkt in das Koordinatensystem legen. Die Kraft befindet sich im 2. Quadranten (siehe Grafik).

2.Schritt: Kraftkomponenten berechnen

Schritt 2 - Komponenten berechnen

Da der Winkel zur x-Achse gegeben ist, ist Fx die Ankathete und wird mit dem Kosinus berechnet. Fy wird somit mit dem Sinus berechnet:

F_x = F \cdot \cos(35^\circ) = 150 N \cdot \cos(35^\circ) = 122,87 N

F_y = F \cdot \sin(35^\circ) = 150 N \cdot \sin(35^\circ) = 86,04 N

Die Kraftkomponente Fxist größer als Fy. Das liegt daran, weil die gegebene Kraft F näher an der x-Achse liegt als an der y-Achse. Damit ist die Wirkung in x-Richtung größer als in y-Richtung.

3.Schritt: Kraft ersetzen

Kräfterzelgung, Techniker, Nachhilfe

Im dritten und letzten Schritt wird die Kraft F durch die beiden berechneten Kraftkomponenten ersetzt. Diese üben dieselbe Wirkung auf die Kiste aus.


Beispiel 2 : Zerlegung einer Kraft im 1. Quadranten


Aufgabenstellung

Zerlegung einer Kraft
Kräftezerlegung

Gegeben sei die obige Kiste, an welche die Kraft F = 100 N angreift.

Führe eine Kräftezerlegung durch!

Lösung

1.Schritt: Koordinatensystem

Zunächst legen wir die Kraft Fmit dem Anfangspunkt in den Koordinatenursprung. Die Kraft F liegt im 1. Quadranten.

Gegeben ist der Winkel von der Kraft Fzur Vertikalenmit 35°. Wir berechnen den Winkel zur Horizontalen:

90^\circ - 35^\circ = 55^\circ

2.Schritt: Komponenten berechnen

Jetzt können wir die x-Komponente mit dem Kosinus berechnen und die y-Komponente mit dem Sinus.

F_x = F \cdot \cos(55^\circ) = 100 N \cdot \cos(55^\circ) = 57,36 N

F_y = F \cdot \sin(55^\circ) = 100 N \cdot \sin(55^\circ) = 581,92 N

3.Schritt: Kraft F ersetzen

Kräftezerlegung, Lösung
Ergebnis der Kräftezerlegung

Wir ersetzen nun die Kraft F durch ihre beiden Komponenten:

Übungsaufgaben: Kräftezerlegung

Löse die folgenden Übungsaufgaben um deinen Wissensstand zu überprüfen und Punkte zu sammeln!



Test 1
Test 2
wie gehts weiter
Wie geht's weiter?
In der folgenden Lerneinheit geben wir dir eine Übersicht über die Gleichungen, die du für die Berechnung der Resultierenden aus zwei Kräften benötigst.

 

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