(Ph2-10) Aufgaben: Betrag und Richtung der Resultierenden aus zwei Kräften

Inhaltsverzeichnis

Wir schauen uns im Folgenden zwei Beispiele an, in denen du lernen sollst den Betrag und die Richtung der Resultierenden aus zwei Kräften mittels Kosinussatz und Sinussatz zu bestimmen.

Warum wird überhaupt eine resultierende Kraft berechnet?

Die resultierende Kraft ersetzt die beiden gegebenen Kräfte. Wenn du die Größe (den Betrag) und die Richtung der Resultierenden F_R kennst, dann kannst du die beiden gegebenen Kräfte durch die Resultierende ersetzen. Du benötigst dann also nur noch eine Kraft, anstelle von zwei Kräften!


Beispiele zur Resultierenden


Damit du das gerade Erlernte auch festigen kannst, schauen wir uns mal zwei Aufgaben an. Du sollst in den nachfolgenden beiden Aufgaben den Betrag und die Richtung der Resultierenden aus zwei Kräften mittels Kosinussatz und Sinussatz bestimmen. Versuche zunächst die Aufgaben selbstständig zu lösen. Solltest du nicht weiter wissen, kannst du dir die Lösungen dazu anschauen.


Beispiel 1: Betrag und Richtung der Resultierenden aus zwei Kräften


Aufgabenstellung
Aufgabe Resultierende aus zwei Kräften
Beispiel 1: Resultierende

Gegeben seien die beiden Kräfte F1 = 80 N und F2 = 180 N, welche auf eine Kiste wirken. Die beiden Kräfte sollen durch eine einzige Kraft ersetzt werden.

Wie groß muss dieses Kraft sein und in welche Richtung muss sie wirken (Winkel zur Horizontalen).

Lösung
Resultierende aus zwei Kräften
Kosinussatz, Sinusatz
Betrag der Resultierenden – Kosinussatz

Wir skizzieren zunächst das Kräfteparallelogramm (siehe obige linke Grafik). Danach wenden wir den Kosinussatz an:

F_R = sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 cdot F_1 cdot F_2 cdot cos(beta)}

Berechnung des Winkels β:

360^circ - 2 cdot 130^circ = 2 beta

beta = 50^circ

Einsetzen der bekannten Werte:

F_R = sqrt{(80 N)^2 + (180)^2 - 2 cdot 80 N cdot 180 N cdot cos(50^circ)}

F_R = 142,4 N

Die resultierende Kraft muss mit einer Kraft von 142,43 N angebracht werden, um die beiden anderen Kräfte zu ersetzen.

Richtung der Resultierenden – Sinussatz

Die Richtung zur Horizontalen (also zur Kraft F2) berechnen wir mittels Sinussatz (siehe rechte obige Grafik):

frac{F_1}{sin(gamma)} = frac{F_R}{sin(50^circ)}

Nach dem gesuchten Winkel γ auflösen:

frac{sin(gamma)}{F_1} = frac{sin(50^circ)}{F_R}

sin(gamma) = frac{sin(50^circ)}{F_R} cdot F_1

quicklatex{color="#0000" size=18} boxed{gamma = sin^{-1}(frac{sin(50^circ)}{F_R} cdot F_1)}

Werte einsetzen:

gamma = sin^{-1}(frac{sin(50^circ)}{142,4 N} cdot 80 N) = 25,5^circ

Die Resultierende muss mit einer Kraft von 142,4 N und einem Winkel von 25,5° zur Horizontalen (zur Kraft F2) angebracht werden, damit sie dieselbe Wirkung wie die beiden Kräfte F1und F2ausübt.

Resultierende aus zwei Kräften
Resultierende

Beispiel 2: Betrag und Richtung der Resultierenden aus zwei Kräften


Aufgabenstellung
Resultierende, Kneipenschild
Resultierende bestimmen

Gegeben sei das Kneipenschild, welches mittels zwei Seilen an der Decke befestigt ist. Die Seile üben jeweilseine Zugkraft von 150 N aus.

Wie groß ist die Gewichtskraft F_G des Schildes?

Lösung

Die Summe der beiden Kräftemuss der Gewichtskraft F_Gentsprechen, um das Schild zu halten. Demnach muss die resultierende Kraft ganz alleine die Gewichtskraft des Schildes tragen. Also muss die Resultierende genau so groß sein, wie die Gewichtskraft des Schildes:

quicklatex{color="#0000" size=18} boxed{F_G = F_R}

Die Richtung der Resultierenden ist in diesem Beispiel bereits vorab bekannt. Da die Gewichtskraft F_G immer vertikal nach unten gerichtet ist, muss die resultierende Kraft vertikal nach oben gerichtet sein. Also genau entgegengesetzt, damit die resultierende Kraft auch das Kneipenschild mit der Gewichtskraft F_G halten kann.

Kneipenschild, Resultierende
Kräfteparallelogramm

Der Kosinussatz lautet:

F_R = sqrt{F_1^2 + F_2^2 - 2 cdot F_1 cdot F_2 cdot cos(beta)}

Den Winkel β berechnen wir wie folgt:

360^circ - 2 cdot 135^circ = 2 cdot beta

90^circ = 2 cdot beta

beta = 45^circ

Einsetzen der Werte:

F_R = sqrt{(150N)^2 + (150N)^2 - 2 cdot 150N cdot 150N cdot cos(45^circ)}

F_R = 114,81 N

Die beiden Seile zusammen tragen eine Kraft von 114,81 N. Dies entspricht der Gewichtskraft des Bildes.

 

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