(Ma2-12) Ungleichungen lösen

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit wollen wir uns an, wie du Ungleichungen lösen kannst.

Ungleichungen lösen
Ungleichungen lösen

 

Wir schauen uns an was Ungleichungen sind und wie Ungleichungen gelöst werden.

 


Ungleichungen lösen: Zeichen


Gleichungen kennst du bereits aus den vorangegangenen Lerneinheiten. Diese werden mit einem Gleichheitszeichen “=” dargestellt. Ungleichungen hingegen erkennst du an den folgenden Zeichen:

 

        Das Kleinerzeichen

>          Das Größerzeichen

≤          Das kleinergleich Zeichen

≥          Das größergleich Zeichen

 

Mithilfe dieser Zeichen können Ungleichungen aufgestellt werden. So zum Beispiel:

 

5 < 6                             5 ist kleiner als 6

x > 8                             x ist größer als 8

5x \le 20                      5x ist größer oder gleich 20

16x + 4 \ge 36         16x + 4 ist keiner oder gleich 36

 

Die erste Ungleichung ist klar, denn 5 ist kleiner 6. Für die zweite Ungleichung gilt, dass x nur Werte größer als 8 annehmen kann. Die dritte und vierte Ungleichungen müssen nach x aufgelöst werden, damit wir mehr über x aussagen können. Wie bei den Gleichungen, wollen wir die Ungleichungen nach x auflösen. Dazu solltest du dir folgendes merken:

 

Merk's dir!
Merk's dir!

Bei der Auflösung nach x gehst du genau so vor, wie bei den Gleichungen. Es gibt aber einen wichtigen Unterschied:

Sobald du für die Auflösung nach x durch eine negative Zahl dividieren oder mit einer negativen Zahl multiplizieren musst, kehrt sich das Zeichen um! Aus einem > wird dann ein < (und umgekehrt) und aus einem ≤  wird ein (und umgekehrt).

 


Ungleichungen lösen: Beispiel


undefiniert
Beispiel: Ungleichung lösen

Gegeben sei die folgende Ungleichung:

 

3(6-x) \ge 2

 

Gebe die Lösungsmenge an!

 

Wir haben oben eine Ungleichung gegeben. Für diese wollen wir die Lösungsmenge bestimme. Dazu müssen wir die Ungleichung nach x auflösen. Zunächst lösen wir die Klammer auf:

 

3(6-x) \ge 2          |Klammer mit 3 multiplizieren

(18 - 3x) \ge 2           |Klammer auflösen

18 - 3x \ge 2

 

Danach können wir beginnen nach x aufzulösen. Dazu bringen wir zunächst 18 auf die rechte Seite, damit der Term mit x alleine steht:

 

18 - 3x \ge 2          |-18

-3x \ge 2 - 18

-3x \ge -16

 

Danach wollen wir x alleine stehen haben und x soll positiv sein. Deshalb müssen wir die Ungleichung durch -3 teilen. Da du durch einen negativen Wert dividierst, musst du das Zeichen umdrehenden. Aus dem \ge wird ein \le:

 

-3x \ge -16          |:-3

x \le 5,33

 

Bei Ungleichungen gibst du die Lösungsmenge wie folgt an:

 

L = \{x \in \mathbb{R} | x \le 5,33 \}

 

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, x ist kleiner gleich 5,33. Das bedeutet also, dass x alle Werte kleiner oder gleich 5,33 annehmen kann.

 

Im folgenden Video wir dir, wie du Ungleichungen lösen kannst.


Lernclip
Ungleichungen

 


Ungleichungen lösen


Schau dir die nachfolgenden Beispiele an und versuche zunächst diese selbstständig zu lösen. Solltest du nicht weiterkommen, schau dir die Lösung an. Versuche danach erneut die Aufgaben zu lösen.

 


Beispiel 1 : Ungleichungen lösen


Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Ungleichung:

2 [-2-4(x + 8)] \ge 2x + 6

 

Gebe die Lösungsmenge an!

Lösung

Wir starten zunächst einmal damit die Klammern aufzulösen. Dabei gehst du immer von innen nach außen vor:

 

Innere Klammer:

 

2 [-2-4(x + 8)] \ge 2x + 6

2 [-2 - 4x - 32 ] \ge 2x + 6

 

Äußere Klammer:

 

2 [-2 - 4x - 32 ] \ge 2x + 6

2 -2 - 4x - 32  \ge 2x + 6

 

Danach fassen wir die Terme auf der linken Seite zusammen:

 

-4x - 32  \ge 2x + 6

 

Als nächsten bringen wir die Terme mit x auf eine Seite und die Terme ohne x auf die andere Seite:

 

-4x - 32  \ge 2x + 6          |+32

-4x  \ge 2x + 38                     |-2x

-6x  \ge 38

 

Der nächste Schritt ist dann, dass wir nach x auflösen, indem wir die Gleichung durch -6 teilen. Hierbei teilen wir durch eine negative Zahl, weshalb aus wir das Ungleichheitszeichen umdrehen müssen:

 

-6x  \ge 38                 |:(-6)

x \le 6,33

 

Die Lösungsmenge beträgt:

 

L = \{x \in \mathbb{R} | x \le 6,33 \}

 

 


Beispiel 2: Ungleichungen lösen


Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Ungleichung:

3(7 - 4x) - 14 \ge 8 - 5x

 

Lösen die Ungleichung nach x auf!

 

Lösung

Zunächst lösen wir die Klammer auf:

 

3(7 - 4x) - 14 \ge 8 - 5x

21 - 12x - 14 \ge 8 - 5x

 

Danach fassen wir die linke Seite zusammen:

 

21 - 12x - 14 \ge 8 - 5x

7 - 12x \ge 8 - 5x

 

Wir bringen nun die Terme mit x auf eine Seite und die ohne auf die andere Seite:

 

7 - 12x \ge 8 - 5x          |+5x

7 - 7x \ge 8                  |-7

-7x \ge 1

 

Um nun nach x auflösen zu können, muss die Ungleichung durch -7 dividiert werden. Hier muss das Ungleichheitszeichen wieder umgedreht werden:

 

-7x \ge 1                   |:(-7)

x \le 0,14

 

Die Lösungsmenge beträgt:

 

L = \{x \in \mathbb{R} | x \le 0,14 \}

 

In Worten: x ist Element der reellen Zahlen, x ist kleiner gleich 0,14. Demnach kann x alle Werte kleiner oder gleich 0,14 annehmen.

 

 

wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

Nach dem Thema Ungleichungen lösen, schauen wir uns in den folgenden Lerneinheiten lineare Funktionen an.

 

Trainingsbereich

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