(Ma1-25) Mengenlehre / Mengenschreibweise

Inhaltsverzeichnis

In dieser Lerneinheit wollen wir uns mit der aufzählenden und beschreibenden Mengenschreibweise befassen.

 

Mengenschreibweise, techniker, nachhhilfe

 

“Innerhalb der Mengenlehre werden Mengen untersucht. Eine Menge ist die Zusammenfassung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamteinheit. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.”

 

Innerhalb der Mengenlehre unterscheiden wir die aufzählende und die beschreibende Mengenschreibweise.

 


Aufzählende Mengenschreibweise


Wir sprechen von einer aufzählenden Mengenschreibweise, wenn die Elemente einer Menge in geschweifte Klammern gesetzt werden und durch Kommata oder Semikolons getrennt werden:

 

M = {Element 1, Element 2, …}

 

M = {Element 1; Element 2; …}

 

Schauen wir uns hierzu mal zwei Beispiele an.

undefiniert
Beispiel: Aufzählende Mengenschreibweise

Du sollst in aufzählender Mengenschreibweise die Menge aller Zahlen angeben, die durch 3 teilbar, größer als 5 und kleiner als 20 sind. 

 

Für die aufzählende Mengenschreibweise wählst du die geschweiften Klammern. Du weißt, dass deine Zahlen größer als 5 und kleiner als 20 sein müssen und zusätzlich durch 3 teilbar:

 

M = {6, 9, 12, 15, 18}

 

Deine Menge beinhaltet 5 Elemente.

 

undefiniert
Beispiel: Aufzählende Mengenschreibweise

Du sollst in aufzählender Mengenschreibweise die Menge aller Zahlen angeben, die durch 5 teilbar, größer als -10 und kleiner als 40 sind. 

 

Du weißt, dass deine Zahlen größer als -10 und kleiner als 40 sein müssen und zusätzlich durch 5 teilbar:

 

M = {-5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}

 

Deine Menge beinhaltet 9 Elemente.

 

Video: Aufzählende Mengenschreibweise

Im folgenden Video betrachten wir die aufzählende Mengenschreibweise.


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Aufzählende Mengenschreibweise
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Beschreibende Mengenschreibweise


Wir sprechen von einer beschreibenden Mengenschreibweise, wenn die Elemente einer Menge durch ihre charakterisierenden Eigenschaften beschrieben werden.

 

M = \{ x | \text{x besitzt die Eigenschaften} \}

 

Dabei kann die Eigenschaft als mathematische Formulierung oder als Text formuliert werden. Nach dem ersten x wird auch grundsätzlich noch die Zahlenmenge angegeben, in welcher x gültig ist. Also um Beispiel:

 

M = \{x \in \mathbb{N} | \text{x ist durch zwei teilbar} \}

 

Gelesen: x ist Element (\in) aller natürlichen Zahlen (\mathbb{N}), für die gilt:  x ist durch zwei teilbar.

 

Schauen wir uns hierzu mal einige Beispiele an.

undefiniert
Beispiel: Beschreibende Mengenschreibweise

Du sollst die Menge aller natürlichen Zahlen angeben die größer als 8 und kleiner als 20 sind.

 

Wir betrachten hier die Menge aller natürlichen Zahlen \mathbb{N}. Natürlich musst du hierfür die Zahlenmengen kennen (vorangegangene Lerneinheit). Die Menge aller natürlichen Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen. In unserem Beispiel zwischen 8 und 20:

 

M = \{x \in \mathbb{N} | \text{x ist größer als 8 und kleiner als 20} \}

 

Du kannst hier auch eine mathematische Formulierung wählen, indem du die Zeichen < und > verwendest:

 

M = \{x \in \mathbb{N} | 8 < x < 20 \}

 

Gelesen: x ist Element aller natürlichen Zahlen, für die gilt: x ist größer als 8 und kleiner als 20.

 

undefiniert
Beispiel: Beschreibende Mengenschreibweise

Du sollst die Menge aller reellen Zahlen angeben, die größer als -24,5 und kleiner als 20 sind.

 

Hast du eine Aufgabe mit rationalen und reellen Zahlen gegeben, so kannst du im Endeffekt nur die beschreibende Mengenschreibweise verwenden. Denn die rationalen und reellen Zahlen kannst du schlecht in einer geschweiften Klammer angeben. Alleine die Zahlen zwischen 0 und 1 kannst du nicht aufführen: 0; 0,0001; 0,0001; 0,05 …Denn bei den reellen und rationalen Zahlen werden auch die Dezimalzahlen zwischen den ganzen Zahlen berücksichtigt. Deswegen musst du hier die beschreibende Variante wählen:

 

M = \{x \in \mathbb{R} | \text{x ist größer als -24,5 und kleiner als 20} \}

 

oder

 

M = \{x \in \mathbb{R} | -24,5 < x < 20 \}

 

Video: Beschreibende Mengenschreibweise

Im folgenden Video betrachten wir die beschreibende Mengenschreibweise.


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Beschreibende Mengenschreibweise
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wie gehts weiter

Wie geht's weiter?

In der folgenden Lerneinheit behandeln wir die Eigenschaften von Mengen.

 

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